Matrixnormen |
21.12.2008, 19:20 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Matrixnormen Ich soll die Zeilensummen-, Spaltensummen- und Spektralnorm der Matrix mit u=[1 2 .....n] aus bestimmen. Die Matrix müsste ja dann folgendermaßen aussehen: Für Zeilen- und Spaltensummennorm kam ich damit auf Korrekt ? Die Spektralnorm lautet bei mir Ich kam darauf allerdings nur durch einige Sätze aus der linearen ALgebra. Da A offensichtlich eine reelle, symmetrische Matrix ist gilt und damit Ferner sind ihre Eigenwerte entweder null oder c>0 worduch c gleichzeitig c_max ist. Aus diesen Eigenschaften folgt weiterhin A²=spur(A)*A=c_max*A Joa und damit kam ich dann letztendlich auf die oben gespostete Spektralnorm. Bin mir auch relativ sicher dass es stimmt (auch weil ich es für ein paar n's mal getestet habe) , jedoch weiss ich nicht genau wie ich argumentieren soll auf welche Sätze aus LA ich zurückgreifen kann ohne das jetzt alles nochmal beweisen zu müssen (da es eine AUfgabe von meiner Numerik Veranstaltung ist) Was meint ihr dazu ? Gruß Björn |
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22.12.2008, 00:45 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Matrixnormen
Ok ihr schreibt Vektoren als Zeilenvektoren? Mir wäre bekannter mit u als Spaltenvektor gewesen. http://de.wikipedia.org/wiki/Dyadisches_Produkt Die Matrix sehe ich auch so. Da sie symmetrisch ist, sollten auch Zeilen- und Spaltensummen übereinstimmen. Die größte Summe erhalten wir mit der letzten Zeile/Spalte und mit Gauss ergibt sich Es ist für Numerik typisch, dass sich aus Sätzen der lin. Algebra Analysis bedient wird. Je nach Prof werden die mehr oder weniger wiederholt und bewiesen. Solange du sie angibst, sollte es ok sein. A ist eine symmetrische Matrix, mit dem Rang 1. Sie hat also nur einen (von 0 verschiedenen) Eigenwert, und dessen Quadrat ist dann Eigenwert von A². Somit käme ich z.B. für n=3 auf 196=14². Du kommst auf 14. |
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22.12.2008, 01:10 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo bine
Eben weil ich noch die Wurzel ziehe http://de.wikipedia.org/wiki/Matrixnorm#...Cr_Matrixnormen
Es gibt aber auch immer den Eigenwert 0, kann man z.B. hier schnell mal testen: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/eigenwert2.htm Grüße |
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22.12.2008, 01:16 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ach ja, die Wurzel könnte man aus dem Ding noch ziehen. Jo, Null ist auch Eigenwert. Aber der ist der kleinste. Da habe ich unsauber formuliert. |
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22.12.2008, 01:27 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Prima, dann passt ja alles Eine Sache noch: Kannst du mir noch was zu diesem Zusammenhang sagen bzw kann ich das irgendwo nochmal genauer nachlesen wie sich das ergibt ?
Rang 1 ist klar...nur warum daraus etwas über die Anzahl der Eigenwerte folgt und warum sie von null verschieden sein müssen... |
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22.12.2008, 01:34 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wo landen denn die Eigenvektoren zum Eigenwert 0? |
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22.12.2008, 01:36 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Im Kern von A. |
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22.12.2008, 01:38 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok. Und es ist nun der Defekt ja (n-1). Die Eigenwerte sind die Nullstellen des char. Polynoms. 0 ist also (n-1)-fache Nullstelle. Dann muss es doch noch eine reelle Nullstelle geben, oder? |
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22.12.2008, 01:40 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Einverstanden |
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