Matrixnormen

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Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »
Matrixnormen
Hallo zusammen und einen schönen 4. Advent Wink

Ich soll die Zeilensummen-, Spaltensummen- und Spektralnorm der Matrix mit u=[1 2 .....n] aus bestimmen.

Die Matrix müsste ja dann folgendermaßen aussehen:



Für Zeilen- und Spaltensummennorm kam ich damit auf

Korrekt ?

Die Spektralnorm lautet bei mir

Ich kam darauf allerdings nur durch einige Sätze aus der linearen ALgebra.
Da A offensichtlich eine reelle, symmetrische Matrix ist gilt und damit
Ferner sind ihre Eigenwerte entweder null oder c>0 worduch c gleichzeitig c_max ist.
Aus diesen Eigenschaften folgt weiterhin A²=spur(A)*A=c_max*A
Joa und damit kam ich dann letztendlich auf die oben gespostete Spektralnorm.

Bin mir auch relativ sicher dass es stimmt (auch weil ich es für ein paar n's mal getestet habe) , jedoch weiss ich nicht genau wie ich argumentieren soll auf welche Sätze aus LA ich zurückgreifen kann ohne das jetzt alles nochmal beweisen zu müssen (da es eine AUfgabe von meiner Numerik Veranstaltung ist)

Was meint ihr dazu ?

Gruß Björn
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrixnormen
Zitat:
Ich soll die Zeilensummen-, Spaltensummen- und Spektralnorm der Matrix mit u=[1 2 .....n] aus bestimmen.


Ok ihr schreibt Vektoren als Zeilenvektoren? Mir wäre bekannter mit u als Spaltenvektor gewesen. http://de.wikipedia.org/wiki/Dyadisches_Produkt

Die Matrix sehe ich auch so. Da sie symmetrisch ist, sollten auch Zeilen- und Spaltensummen übereinstimmen. Die größte Summe erhalten wir mit der letzten Zeile/Spalte und mit Gauss ergibt sich



Es ist für Numerik typisch, dass sich aus Sätzen der lin. Algebra Analysis bedient wird. Je nach Prof werden die mehr oder weniger wiederholt und bewiesen. Solange du sie angibst, sollte es ok sein.

A ist eine symmetrische Matrix, mit dem Rang 1. Sie hat also nur einen (von 0 verschiedenen) Eigenwert, und dessen Quadrat ist dann Eigenwert von A². Somit käme ich z.B. für n=3 auf 196=14². Du kommst auf 14.


Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo bine Wink

Zitat:
Somit käme ich z.B. für n=3 auf 196=14². Du kommst auf 14.


Eben weil ich noch die Wurzel ziehe Augenzwinkern

http://de.wikipedia.org/wiki/Matrixnorm#...Cr_Matrixnormen

Zitat:
A ist eine symmetrische Matrix, mit dem Rang 1. Sie hat also nur einen Eigenwert


Es gibt aber auch immer den Eigenwert 0, kann man z.B. hier schnell mal testen:

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/eigenwert2.htm

Grüße smile
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ja, die Wurzel könnte man aus dem Ding noch ziehen. Big Laugh Jo, Null ist auch Eigenwert. Aber der ist der kleinste. Da habe ich unsauber formuliert. Augenzwinkern
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Prima, dann passt ja alles smile

Eine Sache noch:

Kannst du mir noch was zu diesem Zusammenhang sagen bzw kann ich das irgendwo nochmal genauer nachlesen wie sich das ergibt ?

Zitat:
A ist eine symmetrische Matrix, mit dem Rang 1. Sie hat also nur einen (von 0 verschiedenen) Eigenwert


Rang 1 ist klar...nur warum daraus etwas über die Anzahl der Eigenwerte folgt und warum sie von null verschieden sein müssen...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wo landen denn die Eigenvektoren zum Eigenwert 0?
 
 
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Im Kern von A.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Und es ist nun der Defekt ja (n-1). Die Eigenwerte sind die Nullstellen des char. Polynoms. 0 ist also (n-1)-fache Nullstelle. Dann muss es doch noch eine reelle Nullstelle geben, oder?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Einverstanden smile
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