Momentangeschwindigkeit und -beschleunigung

02.09.2006, 21:54

Granjow

Momentangeschwindigkeit und -beschleunigung

Hallo zusammen,

Ich verzweifle beinahe an einer Aufgabe, die ich Schülern erklären muss, die ein Jahr jünger sind.

Gegeben ist die Position eines Schwerpunktes (im Beispiel von einem Wägelchen an einer Feder ... naja):

$\begin{eqnarray*} x_{(t)} = 4cm*cos(3/sec*t) \end{eqnarray*}$

Gesucht ist nun zuerst mal die Momentangeschwindigkeit für den Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ , wo ich 0 bekomme, und dann die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit. Ich würde da folgendes rechnen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{d \to 0} (\frac{4cm*(\cos(\frac{3}{sec}*t+d)-\cos(\frac{3}{sec}*t))}{d}) \end{eqnarray*}$

also eigentlich
$\begin{eqnarray*} \lim_{d \to 0} (\frac{x_{(t+d)}-x_{(t)}}{d}) \end{eqnarray*}$

Dafür bekomme ich aber zum Beispiel für den Wert t=2 minus unendlich ... was mach ich falsch? Von Ableiten wissen weder ich noch "meine" Schüler was.

Weiter ist dann das selbe für die Momentanbeschleunigung gefragt. Aber solange nicht mal die Geschwindigkeit funktioniert ...

tnx
Granjow

03.09.2006, 03:13

sqrt(2)

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RE: Momentangeschwindigkeit und -beschleunigung

Zitat:

Original von Granjow
$\begin{eqnarray*} \lim_{d \to 0} (\frac{4cm*(\cos(\frac{3}{sec}*t+d)-\cos(\frac{3}{sec}*t))}{d}) \end{eqnarray*}$
[...]
Dafür bekomme ich aber zum Beispiel für den Wert t=2 minus unendlich ... was mach ich falsch?

Du hast die Klammer um $\begin{eqnarray*} t+d \end{eqnarray*}$ vergessen.

Zitat:

Original von Granjow
Von Ableiten wissen weder ich noch "meine" Schüler was.

Dann dürften sie von Grenzwertbildung aber auch nichts wissen...

Dinge wie die Maximalgeschwindigkeit und -beschleunigung ließen sich noch mittels 1. Newtonschem Axiom und mit dem Energieerhaltungssatz ermitteln, aber wenn du an die Momentangeschwindigkeit und -beschleunigung heranwillst, gibt es keinen Weg an der Differenzialrechnung vorbei (diese sind über die Differenzialrechnung definiert).

Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} x(t)=\hat s \cos \omega t \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x'(t)=-\hat s \omega \sin \omega t \end{eqnarray*}$ , die man erhät, wenn man Konstantenregel, bekannte Ableitung des Kosinus und Kettenregel verwendet.

03.09.2006, 03:32

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Ich hab in diesem Zusammenhang das bei Wiki gefunden:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2d/Coil_spring_animation.gif/80px-Coil_spring_animation.gif

Kann die Feder unendlich lange schwingen?

03.09.2006, 03:48

sqrt(2)

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Ich fürchte, sie schwingt nur so lange, wie ich diese Seite offen habe...

03.09.2006, 11:02

Granjow

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RE: Momentangeschwindigkeit und -beschleunigung

Zitat:

Original von sqrt(2)
Du hast die Klammer um $\begin{eqnarray*} t+d \end{eqnarray*}$ vergessen.

Da geb ich dir Recht und LaTeX die Schuld Augenzwinkern

Auf dem Rechner hab ich es aber richtig eingegeben, und er gibt mir nur ein undef zurück. Ist da etwas grundsätzlich falsch daran? Hab ich was übersehen?

Zitat:

Dann dürften sie von Grenzwertbildung aber auch nichts wissen...

Warum? Gehört der Grenzwert denn so zum Ableiten? Ich habe den Limes auch schon lange gehabt, aber noch nie etwas von Ableiten gehört.

Zitat:

[...] aber wenn du an die Momentangeschwindigkeit und -beschleunigung heranwillst, gibt es keinen Weg an der Differenzialrechnung vorbei (diese sind über die Differenzialrechnung definiert).

Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} x(t)=\hat s \cos \omega t \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x'(t)=-\hat s \omega \sin \omega t \end{eqnarray*}$ , die man erhät, wenn man Konstantenregel, bekannte Ableitung des Kosinus und Kettenregel verwendet.

Das wird immer schöner smile

Von Differenzialrechnen weiss ich erst nach den Weihnachten etwas. Aber so etwas stand auch im Formelbuch. Ich muss doch mal fragen, ob sie schon was von ableiten gehört haben. Kann man es wirklich nur so machen? Und warum geht meine Limesrechnung nicht?

Die Feder schwingt in dem Fall halt schon unendlich lange, da es aber keine Physikaufgabe ist, sondern (fächerübergreifende ...) Mathematik ...

tnx,
Granjow

03.09.2006, 12:32

sqrt(2)

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RE: Momentangeschwindigkeit und -beschleunigung

Zitat:

Original von Granjow

Zitat:

Original von sqrt(2)
Du hast die Klammer um $\begin{eqnarray*} t+d \end{eqnarray*}$ vergessen.

Da geb ich dir Recht und LaTeX die Schuld Augenzwinkern

Auf dem Rechner hab ich es aber richtig eingegeben, und er gibt mir nur ein undef zurück. Ist da etwas grundsätzlich falsch daran? Hab ich was übersehen?

Ich weiß nicht, welchem Programm du das wie gefüttert hast... Wenn man einfach nur Null einsetzt, erhält man natürlich einen undefinierten Ausdruck, aber der Grenzwert gegen 0 existiert schon.

Zitat:

Original von Granjow

Zitat:

Dann dürften sie von Grenzwertbildung aber auch nichts wissen...

Warum? Gehört der Grenzwert denn so zum Ableiten? Ich habe den Limes auch schon lange gehabt, aber noch nie etwas von Ableiten gehört.

Das ist natürlich eine Frage, wie einem das beigebracht wird... Ich habe das so erlebt, dass die Grenzwertbildung zusammen mit der Definition der Ableitung vermittelt wird (auch wenn ich das nicht für sinnvoll halte). Wenn deine Schüler aber mit der Grenzwertbildung vertraut sind, dürfte es dir ja nicht schwer fallen, deinen Ansatz zu begründen, und zu erklären, warum der Grenzwert dieses Quotienten die Momentangeschwindigkeit darstellt. Nur beim Berechnen wird man hier unweigerlich auf die Ableitungsfunktion des Kosinus zurückgreifen müssen.

Zitat:

Original von Granjow
Kann man es wirklich nur so machen?

Ja. Wie gesagt, um die Definition der Momentangeschwindigkeit $\begin{eqnarray*} v=\dot{s} \end{eqnarray*}$ wirst du dich nicht drücken können.

03.09.2006, 12:57

riwe

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RE: Momentangeschwindigkeit und -beschleunigung
wenn du die/das additionstheorem(e) verwenden kannst/darfst/willst, bleibt der käse zumindest endlich
cos(3t +d) - cos(d) = -2sin(3t+d/2)sin(d/2), wobei du jetzt halt vor dem problem
$\begin{eqnarray*} lim\frac{sin\frac{d}{2}}{d} \end{eqnarray*}$ stehst, aber vielleicht kennst du den ja verwirrt

aber ich stimme sqrt2 vollkommen zu, wozu hätten sich sonst newton und leibniz geplagt Big Laugh

werner

03.09.2006, 21:27

Granjow

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RE: Momentangeschwindigkeit und -beschleunigung

Zitat:

Original von sqrt(2)
Ich weiß nicht, welchem Programm du das wie gefüttert hast... Wenn man einfach nur Null einsetzt, erhält man natürlich einen undefinierten Ausdruck, aber der Grenzwert gegen 0 existiert schon.

Meinem Taschenrechner ... einem v200 von Texas Instruments. So gefüttert, wie es hier steht.

Zitat:

Dann ist $\begin{eqnarray*} v=\frac{ds}{dt} \end{eqnarray*}$ nur für konstante Beschleunigungen? Und was heisst der Punkt über dem s? Und das Dächlein? :S

Ich glaub, ich frag morgen mal ein paar Lehrer, am besten den, der die Aufgabe gestellt hat ... wenn ich ihn erwische. Mal schauen.

tnx,
Granjow

03.09.2006, 21:37

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Zitat:

Original von Granjow
Dann ist $\begin{eqnarray*} v=\frac{ds}{dt} \end{eqnarray*}$ nur für konstante Beschleunigungen?

Wie kommst du darauf? Nein, $\begin{eqnarray*} v = v(t) = \frac{\dd s}{\dd t} \end{eqnarray*}$ ist allgemeingültig, es ist sogar die Definition der Geschwindigkeit - das sehe ich genauso wie sqrt(2). Und für die Momentanbeschleunigung gilt entsprechend $\begin{eqnarray*} a = a(t) = \frac{\dd v}{\dd t} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Granjow
Und was heisst der Punkt über dem s?

Das ist Übereinkunft der Physiker für die Ableitung nach der Zeit, also für $\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd t} \end{eqnarray*}$ .

04.09.2006, 17:43

Granjow

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Ich hab jetzt die Lösung ... die werdet ihr nicht erwartet haben. Hab ich auch nicht. Sie ist einfach zu einfach ...

Wenn ich also in meinem Taschenrechner das eingebe:

$\begin{eqnarray*} \lim_{d \to 0} (\frac{4cm*(\cos(\frac{3}{sec}*(t+d))-\cos(\frac{3}{sec}*t))}{d}) \end{eqnarray*}$

Einfach so, und dann Enter drücke. Dann bekomme ich das:

$\begin{eqnarray*} -12*\sin{3t} \end{eqnarray*}$
Die Kurve, die ich dabei bekomme, stimmt mit der vom Limes (die aber nur mit Unterbrüchen gezeichnet wird) überein smile

Ich vermute, die Unterbrüche sind darum darin, weil der Rechner da irgend ein Problem hat. Sonst hätte es eigentlich stimmen müssen. Aber so gefällt mir die Formel natürlich schon viel besser.

Kann man da eigentlich auch von Hand drauf kommen?

Granjow

04.09.2006, 17:51

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Granjow
Kann man da eigentlich auch von Hand drauf kommen?

Klar, du bildest ja nichts anderes als die Ableitung:

Zitat:

Original von sqrt(2)
Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} x(t)=\hat s \cos \omega t \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x'(t)=-\hat s \omega \sin \omega t \end{eqnarray*}$ , die man erhät, wenn man Konstantenregel, bekannte Ableitung des Kosinus und Kettenregel verwendet.

Hier eben mit $\begin{eqnarray*} \hat{s}=4\ \mathrm{cm} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \omega=3\ \mathrm{Hz} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \cos' x=-\sin x \end{eqnarray*}$ lässt sich z.B. über die Potenzeihenentwicklung von Kosinus und Sinus zeigen, $\begin{eqnarray*} (c\cdot f(x))'=c\cdot f'(x) \end{eqnarray*}$ (Konstantenregel) und $\begin{eqnarray*} (f(g(x)))'=g'(x)\cdot f'(g(x)) \end{eqnarray*}$ (Kettenregel) dürften dir aus dem Unterricht bekannt sein (oder du wirst sie noch kennenlernen).

04.09.2006, 18:04

Granjow

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Oh ... na, dann schau ich mal, dass ich mehr über Ableitungen erfahre Augenzwinkern

Vielen Dank! Ich muss meinem Mathelehrer mal etwas Stress machen smile

tnx,
Granjow

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