Operatornorm (2)

21.12.2008, 23:21

tigerbine

Operatornorm (2)

Zeilensummen & Co sind ja "Klassiker" wenn man die Normen gleich wählt. Was aber, wenn sie unterschiedlich sind?

$\begin{eqnarray*} \| A\|_{1\to\infty}=\sup_{x\neq 0}\frac{\|Ax\|_{\infty}}{\|x\|_1} \end{eqnarray*}$

Das "leichte" an den anderen Beweisen war ja, dass man wußte, was zu zeigen ist. Wie geht man hier vor?

$\begin{eqnarray*} \|Ax\|_\infty = \max |(Ax)_i| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \|x\|_1 = \sum_{i=1}^n |x_i| \end{eqnarray*}$

Nimmt man die andere Schreibweise, so erhält man:

$\begin{eqnarray*} \| A\|_{1\to\infty}=\sup_{\|x\|_1=1}\|Ax\|_{\infty} \end{eqnarray*}$

In der Matrix A werden also alle Zeilen (also ihre Summanden in Ax) "gleich gewichtet". Kann man mit der Idee was anfangen?

edit:

demnach würde man doch in jeder zeile das Betragsgößte Element nehmen. Insgesamt also den Betragsmäßig größten Eintrag der Matrix?

22.12.2008, 15:41

Reksilat

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RE: Operatornorm (2)
Was soll denn hier eigentlich gemacht werden?
Also wie Du ja auch in Deinem Nachtrag schreibst, ist es möglich

$\begin{eqnarray*} \| A\|_{1\to\infty}=\max_{i,j}|a_{ij}| \end{eqnarray*}$
zu zeigen. Was ist nun Deine Frage, denn dazu ist der Beweis ja nicht so schwer.

22.12.2008, 16:00

tigerbine

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RE: Operatornorm (2)
Grüß dich, Meister der Prozente. Wink

Wortlaut der Aufgabe:

Berechnen Sie die Operatornorm von A für $\begin{eqnarray*} \| A\|_{1\to\infty} \end{eqnarray*}$ .

Bei den klassischen Fällen, wo also beide Male die gleiche Norm verwendet wird, wird ja meist angegeben, was zu zeigen ist. Hier eben nicht. Daher meine Frage, wie geht man da strategisch ran.

22.12.2008, 16:10

Mazze

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Ich würde ganz spontan, da wir im endlich dimensionalen sind

$\begin{eqnarray*} c_n \|x\|_\infty \leq \|x\|_n \leq C_n \|x\|_\infty \end{eqnarray*}$

abschätzen (c_n ist der zugehörige optimale Parameter) und bekomme ne obere Schranke

$\begin{eqnarray*} \frac{\|A\|_\infty}{\|x\|_n} \leq \frac{\|A\|_\infty}{c_n\|x\|_\infty} \end{eqnarray*}$

Auf die Weise bekommt man eine obere und untere Schranke, aber leider nicht den genauen Wert.

22.12.2008, 16:14

Reksilat

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RE: Operatornorm (2)

Zitat:

Original von tigerbine
Grüß dich, Meister der Prozente. Wink

Man geht wieder über zwei Ungleichungen, die erste:
$\begin{eqnarray*} \| A\|_{1\to\infty}\geq\max_{i,j}|a_{ij}|=:m \end{eqnarray*}$
ist leicht zu sehen, da man nur einen geeigneten Vektor $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} \|x\|_1=1 \end{eqnarray*}$ wählen muss. Steht das maximale Element in Spalte $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ , dann wählen wir $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ so, dass überall Nullen stehen, nur an der Stelle $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ eine 1 und es ist $\begin{eqnarray*} \|Ax\|_\infty=m \end{eqnarray*}$

Für die zweite Ugl. wählen wir einen beliebigen Vektor $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^mx_i=1 \end{eqnarray*}$ und dann sei $\begin{eqnarray*} \|Ax\|_\infty \end{eqnarray*}$ oBdA der erste Eintrag von $\begin{eqnarray*} Ax \end{eqnarray*}$ , also
$\begin{eqnarray*} \|Ax\|_\infty=\left|\sum_{i=1}^ma_{1j}x_j\right| \end{eqnarray*}$

Nun ein bisschen abschätzen...
Prost

22.12.2008, 20:18

tigerbine

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RE: Operatornorm (2)
Zum Teil 1:

$\begin{eqnarray*} \| A\|_{1\to\infty}\geq\max_{i,j}|a_{ij}|=:m \end{eqnarray*}$

Weil wir links auch wie folgt schreiben können:

$\begin{eqnarray*} \| A\|_{1\to\infty}=\sup_{\|x\|_1=1}\|Ax\|_{\infty} \end{eqnarray*}$

und rechts wie du geschrieben hast einfach konkret einen Vektor $\begin{eqnarray*} {\|x\|_1=1} \end{eqnarray*}$ angeben. Somit ist das Supremum größer oder gleich m.

$\begin{eqnarray*} \| A\|_{1\to\infty}\leq\max_{i,j}|a_{ij}|=:m \end{eqnarray*}$

Nach deinen Ausführungen würde ich dann sagen, da für die Komponenten von x $\begin{eqnarray*} |x_j| \leq 1 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \|Ax\|_\infty=\left|\sum_{i=1}^ma_{1j}x_j\right| \leq \max_j |a_{1j}| \end{eqnarray*}$

22.12.2008, 20:33

Reksilat

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RE: Operatornorm (2)
Also Dein letzter Schritt ist mir nicht klar. Nimm doch die Dreiecksungleichung.

Einfach nur mit $\begin{eqnarray*} |x_j|\leq 1 \end{eqnarray*}$ kommst Du nicht zum Ergebnis. Du brachst wirklich $\begin{eqnarray*} \|x\|_1=1 \end{eqnarray*}$

22.12.2008, 21:00

tigerbine

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RE: Operatornorm (2)
Mmh, ich stehe wohl auf der Starkstromleitung....

$\begin{eqnarray*} \|Ax\|_\infty=\left|\sum_{i=1}^ma_{1j}x_j\right| \leq \sum_{i=1}^m\left|a_{1j}x_j\right|=\sum_{i=1}^m\left|a_{1j}\right|\left|x_j\right| \end{eqnarray*}$

und wie bringe ich da nun die Eigenschaft von x ein? Oder bin ich schon wieder in die falsche Richtung gelaufen...

22.12.2008, 21:07

Reksilat

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RE: Operatornorm (2)
Das mit dem Index 1 sieht irgendwie komisch aus. Das oBdA hätte es nicht gebraucht, stattdessen kann man ja auch einfach Zeile i schreiben. Bin ein wenig verwirrt heute und habe sogar die Zwiebeln vergessen, so dass ich jetzt Pilze ohne Zwiebeln essen muss.

Egal, bis jetzt richtig und nun verwende, dass $\begin{eqnarray*} |a_{ij}|\leq m \end{eqnarray*}$ für alle i,j ist.

22.12.2008, 21:15

tigerbine

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RE: Operatornorm (2)
Ob es bei mir gerade hell wird...

$\begin{eqnarray*} \|Ax\|_\infty=\left|\sum_{i=1}^ma_{1j}x_j\right| \leq \sum_{i=1}^m\left|a_{1j}x_j\right|=\sum_{i=1}^m\left|a_{1j}\right|\left|x_j\right| \leq m \sum_{i=1}^m \left|x_j\right| = m \end{eqnarray*}$

22.12.2008, 21:16

Reksilat

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RE: Operatornorm (2)
Bingo!

22.12.2008, 21:22

tigerbine

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RE: Operatornorm (2)
Da ich neben den Zwiebeln auch die Pilze vergessen habe, ist mein Teller leer. Ich gehe nun erstmal einen Chinesen überfallen, dann kommt Nr(3) dran. Da wirste mich wohl auch nochmal auf die Lösung schubsen müssen. Als Beamtin bin ich wohl ungeeignet, zumindest was Normen angeht. Augenzwinkern

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