Eigenschaften innerer Kompositionen

22.12.2008, 12:33	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenschaften innerer Kompositionen Hallo, ich habe hier folgende Beweisaufgaben: Sei $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ eine Menge, wir betrachten die innere Komposition $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \mathcal P (M) \end{eqnarray}$ . Beweisen Sie: 1. $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ ist eine assoziative innere Komposition. 2. $\begin{eqnarray} \emptyset \end{eqnarray}$ ist neutrales Element bezüglich $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ 3. $\begin{eqnarray} \emptyset \end{eqnarray}$ ist das einzige Element in $\begin{eqnarray} \mathcal P (M) \end{eqnarray}$ , das bzgl. $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ ein Inverses besitzt. Also dann zu 1. Seien $\begin{eqnarray} A, B, C \subset \mathcal P (M) \end{eqnarray}$ Dann muss für die Assoziativität gelten: $\begin{eqnarray} (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (A \cup B) \cup C = \{x \in M~\|~x \in A \vee x \in B\} \cup \{x \in M~\|~x \in C\} \end{eqnarray}$ Aber wie komme ich jetzt von der Darstellung auf $\begin{eqnarray} A \cup (B \cup C) \end{eqnarray}$ ? 2. $\begin{eqnarray} \emptyset \cup A = A \cup \emptyset = A \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \{x \in M~\|~x \in \emptyset \} \cup \{x \in M~\|~x \in A\}= ... \end{eqnarray}$ Kann das überhaupt so stimmen oder muss ich da anders rangehen? $\begin{eqnarray} x \in \emptyset \end{eqnarray}$ erscheint mir ein wenig komisch. 3. Hier hab ich überhaupt keinen Ansatz... Danke schonmal, Q-fLaDeN
22.12.2008, 13:29	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu 1. und 2. Die Gleichheit zweier Mengen beweist man, indem man zeigt, dass die beiden Mengen ineinander enthalten sind. Du kannst auch mal die Suche benutzen. Das wurde schon oft behandelt. Zu 3. Das $\begin{eqnarray} \emptyset \end{eqnarray}$ neutrales Element ist, ist $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$ invers zu $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ , wenn gilt $\begin{eqnarray} A \cup A^{-1} = \emptyset \end{eqnarray}$ . Nun musst du zeigen, dass es zu $\begin{eqnarray} A \neq \emptyset \end{eqnarray}$ kein solches $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$ gibt.
24.12.2008, 12:27	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
So, da bin ich mal wieder. An Weihnachten... Die Suchfunktion hat mich irgendwie nicht viel weiter gebracht. Ich hab mal in meinem Buch nachgesehen (Lösungen stehen dabei, ich möchte aber nur ungern da rein schaun, erst nachdem ich die Aufgaben selbst gelöst hab) Also nochmal zur 1, so wurde es im Buch gemacht: $\begin{eqnarray} A, B, C \subset \mathcal P (M), x \in M \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (A \cup B) \cup C &=& \{x \in M~\|~x \in A \vee x \in B\} \cup \{x \in M~\|~x \in C\} \\ &=& \{x \in M~\|~x \in A \vee x \in B \vee x \in C\} \\ &=& \{x \in M~\|~x \in A\} \cup \{x \in M~\|~x \in B \vee x \in C\} \\ &=& A \cup (B \cup C) \end{eqnarray}$ Ich tu mir mit dem Beweisen noch sehr schwer, deshalb kann ich mit deinen Tipps zur 3 auch leider nichts anfangen Das neutrale Element wurde so definiert: Ein Element $\begin{eqnarray} e \in M \end{eqnarray}$ heißt neutral bezüglich $\begin{eqnarray} \circ \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} e \circ x = x \circ e = x \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} x \in M \end{eqnarray}$ gilt. Falls das helfen sollte...
24.12.2008, 14:25	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
[Um deine Aufgabe zu bearbeiten, solltest du dir vielleicht diesen Abschnitt zu Gemüte ziehen] Hier Ein völlig äquivalenter Weg die Assoziativität zu zeigen, ist folgender: $\begin{eqnarray} x\in (A\cup B) \cup C &\Leftrightarrow& x\in (A\cup B) \vee x\in C \\&\Leftrightarrow& ( x\in A \vee x\in B) \vee x\in C\\&\Leftrightarrow& x\in A \vee (x\in B \vee x\in C)\\&\Leftrightarrow& x\in A \vee (x\in B \cup C)\\&\Leftrightarrow& x\in A \cup ( B \cup C) \end{eqnarray}$ Zu Zweitens: Da ist deine Defintion eines neutralen Elements doch recht nützlich. Hier steht $\begin{eqnarray} \circ \end{eqnarray}$ für irgendeine Verknüpfung, die irgendwas bewirkt. Wir setzen dafür $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ ein und betrachten Mengen als Elemente. Das sieht dann wie folgt aus: Sei $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ eine beliebige Menge aus $\begin{eqnarray} P(M) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} x\in A\cup\emptyset=x\in A\vee x\in \emptyset=x\in A=x\in\emptyset\vee x\in A=x\in \emptyset\cup A \end{eqnarray}$ Zu drittens: Sei $\begin{eqnarray} A\in P(M) \end{eqnarray}$ eine beliebige Menge, für die gilt: $\begin{eqnarray} A\cup B=\emptyset \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow A=(A\cup B)\backslash B=\emptyset\backslash B=\emptyset \end{eqnarray}$ Damit ist die leere Menge die einzige Menge, für welche ein Inverses bzgl. $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ existiert. Im Forum findest du jede Menge solcher Aufgaben, wie tmo schon angmerkt hat.
24.12.2008, 14:33	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit sollten alle Fragen geklärt sein. Super, dankeschön!

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