Umordnung einer Folge

22.12.2008, 13:04

Waterfall

Umordnung einer Folge

Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Es sollen $\begin{eqnarray*} a_1,a_2,...,a_n \end{eqnarray*}$ positive Zahlen und $\begin{eqnarray*} (b_1,b_2,...,b_n) \end{eqnarray*}$ eine beliebige Umordnung dieser Zahlen.

Zu zeigen ist dann, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} +...+ \frac{a_n}{b_n} \ge n \end{eqnarray*}$ .

Vielen Dank für eure Hilfe!

22.12.2008, 13:23

tmo

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Das folgt unmittelbar aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel.

22.12.2008, 14:45

Waterfall

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Aber es muss ich nicht zunächst einmal Bedingungen für a,b und n aufstellen, wie z.B. $\begin{eqnarray*} a,b \in~N oder~R \end{eqnarray*}$ ?
Denn wenn z.B. $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{a}{n} \end{eqnarray*}$ ist die Ungleichung nicht erfüllt, oder?!

22.12.2008, 17:09

tmo

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Ich verstehe nicht, was du damit meinst verwirrt

Was $\begin{eqnarray*} a_1, \dotsc, a_n, b_1, \dotsc b_n \end{eqnarray*}$ sind, ist in der Aufgabe schon klar gesagt.

07.02.2009, 13:33

Waterfall

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Ich bin in letzter Zeit leider nicht dazu gekommen, mich mit meiner Aufgabe zu beschäftigen, aber nun muss ich doch mal wieder ran und brauche dringend nochmal nen bisschen Hilfe.
Das sind mit den Bedingungen hat sich erledigt. Soweit bin ich mittlerweile auch.

Ich hatte auch selbst die Idee die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel anzuwenden...und habe somit auch schon ein bisschen was damit probiert.
Allerdings habe ich nicht wirklich eine Idee wie ich die Ungleichung genau anwenden muss...? Kann mir da vielleicht nochmal jemand weiterhelfen?

07.02.2009, 13:40

tmo

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Wende die Ungleichung auf

$\begin{eqnarray*} \cfrac{\cfrac{a_1}{b_1}+\cfrac{a_2}{b_2}+ \dotsb + \cfrac{a_n}{b_n}}{n} \end{eqnarray*}$

an.

Das ist ja offensichtlich ein arithmetisches Mittel.

08.02.2009, 10:24

Waterfall

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Also, irgendwie ist das für mich nicht ganz so offensichtlich, aber vielleicht steh ja auch nur grade auf'm Schlauch... verwirrt

Die gegebene Gleichung lautet ja $\begin{eqnarray*} \frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+...+\frac{a_n}{b_n}\geq n \end{eqnarray*}$ . Da könnte ich dann durch n teilen und würde dann $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+...+\frac{a_n}{b_n}}{n}\geq 1 \end{eqnarray*}$ erhalten, oder?!
Die Ungleichung vom arithmetrischen und geometrischen Mittel würde in meinem Fall doch $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+...+\frac{a_n}{b_n}}{n}\geq\sqrt[n]{\frac{a_1}{b_1}\cdot\frac{a_2}{b_2}\cdot...\cdot\frac{a_n}{b_n}} \end{eqnarray*}$ lauten.

Ich bin mir an dieser Stelle aber nicht wirklich sicher, wie ich weiter vorgehen soll bzw. wie ich diese beiden Ungleichungen genau zusammenbringen soll.
Ich hab versucht die beiden Ungleichungen "gleichzusetzen", bin mir aber nicht sicher, ob das überhaupt geht oder wie man das genau macht. Außerdem erscheint mir das irdendwie zu trivial, wie ich vorgegangen bin.

Wie kann ich denn an dieser genau weitermachen oder bin auf dem falschen Weg?

08.02.2009, 11:14

Mathespezialschüler

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Wie sind die Zahlen $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ definiert? Welche Zahl muss dann klarerweise bei dem Bruch

$\begin{eqnarray*} \frac{a_1}{b_1}\cdot\frac{a_2}{b_2}\cdot\ldots\cdot\frac{a_n}{b_n}=\frac{a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{b_1\cdot b_2\cdot\ldots\cdot b_n} \end{eqnarray*}$

herauskommen?

08.02.2009, 12:09

Waterfall

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Naja, die Zahlen $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ sind laut Aufgabe bzw. Voraussetzung definiert als positive Zahlen. Und bei dem Bruch steht auf beiden Seiten das
Gleiche, sodass $\begin{eqnarray*} 0=0 \end{eqnarray*}$ herauskommen würde.
Aber irgendwie versteh ich immer noch nicht ganz, was mir das jetzt bei der Aufgabe weiterhilft? Kann mir da vielleicht jemand die Zusammenhänge erklären?

08.02.2009, 12:47

tmo

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Weißt du denn, was der Begriff Umordnung bedeutet?

08.02.2009, 13:08

Waterfall

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Ich bin bisher davon ausgegangen, dass man unter einer Umordnung eine Veränderung der Anordnung einer Menge durch Vertauschen ihrer Elemente versteht. Eine Umordnung ist also eine Permutation, d.h. eine bijektive Selbstabbildung. Ist das richtig?
Sind noch weitere Eigenschaften einer Umordnung für die Aufgabe von Bedeutung?

08.02.2009, 13:14

Mathespezialschüler

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Ja das ist richtig. Wenn du jetzt das Produkt $\begin{eqnarray*} a_1\cdot\ldots\cdot a_n \end{eqnarray*}$ und das Produkt $\begin{eqnarray*} b_1\cdot\ldots\cdot b_n \end{eqnarray*}$ betrachtest, was für Zahlen kommen dann da raus?

08.02.2009, 13:24

Waterfall

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Auf jeden Fall positive Zahlen. Und außerdem beim Produkt von $\begin{eqnarray*} a_1\cdot a_2\cdot ...\cdot a_n \end{eqnarray*}$ sowie von $\begin{eqnarray*} b_1\cdot b_2\cdot ...\cdot b_n \end{eqnarray*}$ jeweils die gleiche Zahl, da $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ eine Permutation von $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ ist.
Und wie hilft mir das jetzt weiter? Oder kann noch etwas genaueres über diese Zahlen sagen?

08.02.2009, 13:28

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Du erkennst, dass in Zähler und Nenner des Quotienten

$\begin{eqnarray*} \frac{a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{b_1\cdot b_2\cdot\ldots\cdot b_n} \end{eqnarray*}$

dieselbe positive Zahl steht und weißt dann trotzdem nicht, wie man diesen Quotienten ausrechnet? Also entschuldige bitte die offenen Worte, aber dann bist du blinder als ein Maulwurf.

08.02.2009, 17:06

Waterfall

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Sorry, da hab ich wohl wirklich den Wald vor Bäumen nicht gesehen Ups

, aber nu ist es mir klar.

1. Also, die gegebene Gleichung lautet ja: $\begin{eqnarray*} \frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+...+\frac{a_n}{b_n}\geq n \end{eqnarray*}$ Hier teile ich dann durch n. Das ist erlaubt, da n die Anzahl der Menge $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ ist und somit n>0 gilt. Reicht das als Begründung oder muss man das an dieser Stelle noch irgendwie anders zeigen?
Ich erhalte dann: $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+...+\frac{a_n}{b_n}}{n}\geq 1 \end{eqnarray*}$

2. a) Die Ungleichung vom arithmetrischen und geometrischen Mittel lautet in diesem Fall: $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+...+\frac{a_n}{b_n}}{n}\geq\sqrt[n]{\frac{a_1}{b_1}\cdot\frac{a_2}{b_2}\cdot...\cdot\frac{a_n}{b_n}} \end{eqnarray*}$

b) Die rechte Seite bzw. das geometrische Mittel kann man in diesem Fall auch als $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\frac{a_1}{b_1}\cdot\frac{a_2}{b_2}\cdot...\cdot\frac{a_n}{b_n}}=\sqrt[n]{\frac{a_1\cdot a_2\cdot ...\cdot a_n}{b_1\cdot b_2\cdot ...\cdot b_n}}=\sqrt[n]{1}=1 \end{eqnarray*}$ schreiben.
Begründung: Der Quotient von $\begin{eqnarray*} a_1\cdot ...\cdot a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_1\cdot ...\cdot b_n \end{eqnarray*}$ ist stets gleich mit 1, da die Produkte der Zahlen $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ gleich sind. Der Grund hierfür ist, dass die Menge der Zahlen $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ eine Umordnung der Zahlen $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ ist.

Noch eine Frage dazu: Muss die Gleichheit des geometrischen Mittels mit 1 noch irgendwie anders zeigen oder würde so eine Begründung ausreichen?

3. Somit folgt auch aus der Ungleichung vom arithmetrischen und geometrischen Mittel ebenfalls, dass $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+...+\frac{a_n}{b_n}}{n}\geq 1 \end{eqnarray*}$ und die Ausgangsgleichung ist damit bewiesen.

Ist das so alles korrekt, wie ich es wiedergegeben habe oder ist da noch irgendwo ein Fehler drin oder fehlt etwas? Mir kommt die Lösung nämlich im Nachhinein ziemlich simpel vor, sodass ich die ganze Zeit überlege, ob noch irgendetwas zu beachten ist. Ich habe die Aufgabe nämich in einem Seminar bekommen, wo es um Problemlösen geht und das ist ja meistens nicht so einfach.

Also, es wäre nett, wenn ihr mir nochmal ne Rückmeldung gebt!
Danke, dass ihr bisher soviel Geduld mit mir hattet!

10.02.2009, 09:49

Waterfall

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Hey, ich bin's nochmal.
Es wär echt nett, wenn nochmal jemand meine Lösung kommentieren bzw. mich auf eventuelle Fehler aufmerksam machen könnte. Außerdem würde ich mich freuen, wenn ihr meine offenen Fragen aus dem letzten Beitrag beantworten würdet.

Danke!

10.02.2009, 10:36

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Die Wortwahl in 1. ist etwas befremdlich: Das ist keine "gegebene Gleichung", sondern die "nachzuweisende Behauptung". Das sollte man schon deutlich herausstellen, denn "gegebene Gleichung" klingt wie eine Voraussetzung.

Ansonsten ist alles soweit Ok.

Zitat:

Original von Waterfall
Mir kommt die Lösung nämlich im Nachhinein ziemlich simpel vor, sodass ich die ganze Zeit überlege, ob noch irgendetwas zu beachten ist. Ich habe die Aufgabe nämich in einem Seminar bekommen, wo es um Problemlösen geht und das ist ja meistens nicht so einfach.

Ich sehe es ja auch so, dass das Problem hier relativ simpel war. Aber lustig, dass gerade du das nach dem Verlauf dieses Threads auch so einschätzt. Augenzwinkern

18.02.2009, 15:51

Waterfall

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Ich bin's doch nochmal wieder!
Vielen Dank auch für die vielen Tipps zur Lösung der Aufgabe und nochmal sorry, dass ich mich zunächst so dämlich angestellt.
Ich bräuchte aber trotzdem nochmal eure Ratschläge, denn mein Prof meinte, dass ich die Aussage vielleicht noch auf eine andere Art beweisen könnte.
Ich hatte die Idee die Umordnungs-Ungleichung zu Hilfe zu nehmen. Bin allerdings noch nicht soweit, dass ich die Ungleichung angewendet habe.
Hilft mir die Umordnungsgleichung denn hier weiter? Und wenn ja, wie kann ich sie anwenden?
Oder hat jemand noch eine andere Idee, wie man das Problem noch lösen kann?

Danke smile

20.02.2009, 16:17

Waterfall

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Ich habe mir nochmal ein paar Gedanken zur Lösung mit der Umordnungs-Ungleichung gemacht und ein wenig recherchiert.

Die Umordnungs-Ungleichung gilt ja bekanntlich für reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} a=(a_1,\dots,a_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=(c_1,\dots,c_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_1 \leq \cdots \leq a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_1 \leq \cdots \leq c_n \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} b=\left(b_1, \dots ,b_n\right) \end{eqnarray*}$ sei eine Permutation von $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ .
Die Umordnungs-Ungleichung besagt dann, dass $\begin{eqnarray*} a_1 c_1 + \cdots + a_n c_n \geq b_1 c_1 + \cdots + b_n c_n \geq a_n c_1 + \cdots + a_1 c_n. \end{eqnarray*}$

[Das Skalarprodukt ist also maximal, wenn die Elemente gleich geordnet sind, und minimal, wenn sie entgegengesetzt geordnet sind.]

Weiterhin habe ich dann gelesen, dass man die Ungleichungs-Umordnung so umformen kann, dass sich die folgende Ungleichung ergibt: $\begin{eqnarray*} \frac{b_1}{a_1}+...+\frac{b_n}{a_n}\geq n. \end{eqnarray*}$ Welche ja mit der zu beweisenden Ungleichung aus der Aufgabe übereinstimmt, denn $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ ist die Umordnung der Zahlen $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ .

Ich habe nun schon einiges probiert, um von der Ungleichungs-Umordnung auf die untere Form zu kommen, bin aber beim äquivalten Umformen immer in einer Sackgasse gelandet, sodass ich nicht mehr weiterkam. Es wäre also echt nett, wenn mir jemand sagen könnte, was ich tun muss, um die Umordnungs-Ungleichung in die gewünschte Form zu bringen, oder aber wenn ihr mir wenigstens sagen könntet, wie ich anfangen muss. Ich weiß, dass ich dass c irgendwie eliminieren muss.

Danke!

20.02.2009, 16:56

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Du wendest diese Umordnungsungleichung schlicht und einfach für den Spezialfall $\begin{eqnarray*} c_k = \frac{1}{a_{n+1-k}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=1,\ldots,n \end{eqnarray*}$ an, schon ist der Beweis deiner Aussage erbracht.

21.02.2009, 15:05

Waterfall

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So, ich hab mal deinen Tipp befolgt (Danke auch dafür!), aber komme im Moment trotzdem nicht weiter... Kann mir vielleicht nochmal jemand weiterhelfen bzw. mir sagen, ob mein Anfang richtig ist?

Ich sollte ja $\begin{eqnarray*} c_k=\frac{1}{a_{n+1-k}} \end{eqnarray*}$ setzen. Dann sind $\begin{eqnarray*} c_1=\frac{1}{a_n},...,c_n=\frac{1}{a_1} \end{eqnarray*}$ , oder?!
Dazu hab ich aber nochmal ein paar Verständnisfragen: Wieso kann man hier den Spezialfall $\begin{eqnarray*} c_k=\frac{1}{a_{n+1-k}} \end{eqnarray*}$ anwenden? Wie kommt man darauf? Bleibt der Beweis trotzdem noch allgemein, weil $\begin{eqnarray*} c_i \end{eqnarray*}$ ja wie $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ irgendwelche positiven Zahlen sind und man sie damit o.B.d.A. so festlegen kann...?

Mit der Umordnungs-Ungleichung ergibt sich dann weiter: $\begin{eqnarray*} \frac{a_1}{a_n}+...+\frac{a_n}{a_1}\geq \frac{b_1}{a_n}+...+\frac{b_n}{a_1}\geq \frac{a_n}{a_n}+...+\frac{a_1}{a_1} \end{eqnarray*}$
Für den rechten Teil der Ungleichung ergibt sich dann: $\begin{eqnarray*} ...\geq \underbrace{1+...+1}_{n-mal}=n \end{eqnarray*}$
Allerdings bin ich an dieser Stelle noch nicht bei der gewünschten Form angelant. Wie muss ich denn jetzt noch weitermachen und ist das bisher so richtig?

21.02.2009, 16:06

Waterfall

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Oder bin ich an dieser Stelle doch schon am Ziel angelangt...?

Ich habe mir gerade nochmal den linken und mittleren Teil der Ungleichung angeguckt und da ist mir aufgefallen, dass damit ja eigentlich schon die zu beweisende Ungleichung gezeigt wurde. Links und in der Mitte steht ja: $\begin{eqnarray*} \frac{a_1}{a_n}+...+\frac{a_n}{a_1}\geq \frac{b_1}{a_n}+...+\frac{b_n}{a_1}\geq n \end{eqnarray*}$
Mit der Definition einer Umordnung könnte man doch auch hier so argumentieren, dass im linken Teil die Zahlen im Nenner eine Umordung von $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ sind, oder mit Hilfe des mittleren Teil, dass es egal ist, ob die Zahlen $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ im Zähler/Nenner stehen und in welcher Reihenfolge, da es sich ja jeweils um eine Umordnung derselben Zahlen handelt...
Reicht das als Begründung oder muss/kann man die Ungleichung an dieser Stelle noch weiter umformen, sodass sie genauso dasteht, wie die Ungleichung in der Aufgabe?
Wenn ja, müsstet ihr mir an dieser Stelle nochmal weiterhelfen!

21.02.2009, 16:16

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Zitat:

Original von Waterfall
Dann sind $\begin{eqnarray*} c_1=\frac{1}{a_n},...,c_n=\frac{1}{a_1} \end{eqnarray*}$ , oder?!

Ja klar. Immer diese Rückversicherungsfragen, selbst bei banalen Dingen...

Zitat:

Original von Waterfall
Wieso kann man hier den Spezialfall $\begin{eqnarray*} c_k=\frac{1}{a_{n+1-k}} \end{eqnarray*}$ anwenden?

Da die Folge $\begin{eqnarray*} (a_k) \end{eqnarray*}$ monoton wachsend und positiv ist, ist die Folge ihrer Reziproken auch positiv, aber monoton fallend. Wenn ich jetzt noch die Reihenfolge genau umdrehe, wie ich es bei $\begin{eqnarray*} (c_k) \end{eqnarray*}$ gemacht habe, dann ist diese Folge wieder monoton wachsend. Somit erfüllen beide Folgen die Voraussetzungen deiner Umordnungsungleichung, und damit kannst du sie anwenden.

Zitat:

Original von Waterfall
Wie kommt man darauf?

Weil es im Hinblick auf das gewünschte Ergebnis sowas von offensichtlich ist. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Waterfall
Allerdings bin ich an dieser Stelle noch nicht bei der gewünschten Form angelant.

Es ist prinzipiell die gewünschte Form - es gibt lediglich noch einen Benennungskonflikt der Folgen $\begin{eqnarray*} (a_n),(b_n) \end{eqnarray*}$ in einerseits deiner nachzuweisenden Ungleichung und andererseits deiner Umordnungsungleichung. Um Verwirrung zu vermeiden, nenne doch temporär deine nachzuweisende Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{u_1}{v_1} + \cdots + \frac{u_n}{v_n} \geq n \end{eqnarray*}$

und versuche jetzt mal die Zuordnung von $\begin{eqnarray*} (u_n),(v_n) \end{eqnarray*}$ zu den $\begin{eqnarray*} (a_n),(b_n),(c_n) \end{eqnarray*}$ der Umordnungsungleichung. Augenzwinkern

22.02.2009, 16:43

Waterfall

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Zitat:

Um Verwirrung zu vermeiden, nenne doch temporär deine nachzuweisende Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{u_1}{v_1} + \cdots + \frac{u_n}{v_n} \geq n \end{eqnarray*}$

und versuche jetzt mal die Zuordnung von $\begin{eqnarray*} (u_n),(v_n) \end{eqnarray*}$ zu den $\begin{eqnarray*} (a_n),(b_n),(c_n) \end{eqnarray*}$ der Umordnungsungleichung.

Ich hab das mal gemacht...

Die Umordnungsungleichung ist ja:
$\begin{eqnarray*} \frac{a_1}{a_n}+...+\frac{a_n}{a_1}\geq \frac{b_1}{a_n}+...+\frac{b_n}{a_1}\geq n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_k= \frac{1}{a_{n+1-k}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{v_k}=b_k \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} v_k=\frac{1}{b_k} \end{eqnarray*}$

Weiter wäre $\begin{eqnarray*} u_1=\frac{1}{a_{n+1-1}}=\frac{1}{a_n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_n=\frac{1}{a_{n+1-n}}=\frac{1}{a_1} \end{eqnarray*}$ , sowie $\begin{eqnarray*} v_1=\frac{1}{b_1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_n=\frac{1}{b_n} \end{eqnarray*}$ .

Mit der Umordnungsungleichung würde dann gelten: $\begin{eqnarray*} (\frac{u_1}{u_n}+...+\frac{u_n}{u_i}\geq)\frac{u_1}{v_1}+...+\frac{u_n}{v_n}\geq n \end{eqnarray*}$

Hast du das so gemeint mit dem Umbenennnen?
Wär gut, wenn du mir noch ein letztes Mal antworten könntest!

PS. Ich hoffe wirklich, es ist das letzte Mal..., und dass ich dann mit mehr meinen Nachfragen nerven muss... Augenzwinkern

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