Berechnung von Determinanten

22.12.2008, 15:15

mangoline1

Berechnung von Determinanten

Ich habe wohl irgendwie ein Brett vor dem Kopf Hammer

, daher meine Fragen:

Wozu verwendet man die elementaren Umformungen zur Berechnung (alle Elemente bis auf eins in einer Zeile oder Spalte zu null machen) von Determinanten, obwohl man doch mit dem LaPlaceschen Entwicklungssatz ohne diese Umformungen auskommt ?
Ich habe gelesen, dass man sich mit LaPlace die Zeile oder Spalte mit den meisten Nullen ausssucht, warum dies und vor allen Dingen: wozu zusätzliche Nullen erzeugen ?

Oder vereinfacht die Umformung die Berechnung nach LaPlace ?
Sind es vielleicht zwei verschiedene Verfahren ?

Vielen Dank im voraus

22.12.2008, 15:17

klarsoweit

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RE: Berechnung von Determinanten

Zitat:

Original von mangoline1
Oder vereinfacht die Umformung die Berechnung nach LaPlace ?

Ja. Je mehr Nullen du in einer Zeile oder Spalte hast, umso einfacher wird die Sache. Das sollte doch einleuchten, oder?

Zitat:

Original von mangoline1
Sind es vielleicht zwei verschiedene Verfahren ?

Im Grunde nicht.

24.12.2008, 13:58

mangoline1

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Habe es leider immer noch nicht verstanden. Warum macht man sich die Mühe mit dem Nullen erzeugen, wenn man die entsprechende Zeile/Spalte eh wegstreicht ?

24.12.2008, 14:40

Raumpfleger

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Weggestrichen wird nix, wir sind hier nicht in der (theoretischen) Physik. Es wird umgeformt. Natürlich kann man immer den Laplaceschen Entwicklungssatz anwenden, aber wenn's einem gelingt, die Matrix (z.B: für n = 3) durch äquivalente Umformungen auf Stufenform $\begin{eqnarray*} m = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ 0 & b_2 & b_3 \\ 0 & 0 & c_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zu bringen, dann ist $\begin{eqnarray*} \det(m) = a_1 b_2 c_3 \end{eqnarray*}$ , d.h. der Laplacesche Entwicklungssatz ist trivial. Mit anderen Worten, Nullen werden "erzeugt", um zu einer möglichst offensichtlichen Anwendung des Laplaceschen Entwicklungssatzes zu gelangen.

24.12.2008, 16:16

mangoline1

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Danke, das hilft mit weiter. Mit Zunge

, eine letzte Frage noch: kann man damit alle Determinanten berechen, also n>3 ?

24.12.2008, 17:25

Raumpfleger

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Das ist bestimmt nicht die letzte Frage und die Antwort ist ja. Jede quadratische Matrix endlicher Zeilen- (und damit Spalten-)zahl in Stufenform $\begin{eqnarray*} m = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 (n-1)} & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2 (n-1)} & a_{2n} \\ & & \cdots& & \\ 0 & 0 & \cdots & a_{(n-1)(n-1)}& a_{(n-1) n}\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{nn}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hat die Determinante $\begin{eqnarray*} det(m) = \prod_{i=1}^n a_{ii} \end{eqnarray*}$ .

25.12.2008, 12:24

mangoline1

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Gut, dann setzte ich nochmal einen drauf:

Muss man nun die Matrix komplett in die obere Dreiecksmatrix überführen oder genügt es, eine Zeile außer einem Element zu Null zu machen ?

25.12.2008, 12:42

Raumpfleger

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Wenn man die Formel $\begin{eqnarray*} \det(m) = \prod_{i=1}^{n} a_{ii} \end{eqnarray*}$ anwenden will, dann muss man die Matrix in eine obere Dreiecksmatrix umformen. Wegen $\begin{eqnarray*} \det(m) = \det(m^T) \end{eqnarray*}$ geht auch eine untere Dreiecksmatrix.

Wenn man nur in einer Zeile alle Elemente bis auf eines (sage $\begin{eqnarray*} a_{ij} \end{eqnarray*}$ ) zu Null umformt, dann hat man lediglich $\begin{eqnarray*} \det(m) = (-1)^{i + j} a_{ij} \det(minor_{ij}(m)) \end{eqnarray*}$ erreicht und es bleibt jetzt noch die Aufgabe, die Determinante der Untermatrix $\begin{eqnarray*} minor_{ij}(m) \end{eqnarray*}$ zu berechnen. Also setzt man das Verfahren (den Gaussschen Algorithmus) fort.

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