Nullstellensuche

22.12.2008, 17:19

LutherLex

Nullstellensuche

Hallo! Ich versuche vergebens die Nullstellen folgender Aufgabe zu ermitteln:
$\begin{eqnarray*} \frac {1-B+2G(1-G)}{(1-B)^2} \geq \frac{(1-B)(1+2B)+B}{(1-B)^2*(1+2B)} \end{eqnarray*}$

Dabei habe ich folgendes versucht:
*(1-B)² und teilen ergibt vereinfacht
1-B+2G(1-G)>=(1-B)+(B/(1+2B))

Dann auf beiden Seiten -(1-B)

Das Ergebnis müsste $\begin{eqnarray*} 0,5\pm \frac{0,5}{\sqrt{1+2B}} \end{eqnarray*}$ sein.

Vielen Dank für Hinweise

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)

22.12.2008, 17:34

Airblader

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Weder Aufgaben noch Ungleichungen haben Nullstellen. Könntest du also bitte die Originalaufgabe stellen?

Oder geht es darum, diejenigen G anzugeben, für welche in der Ungleichung Gleichheit gilt?

air

22.12.2008, 17:36

LutherLex

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Entschuldigung, ich suche die beiden Nullstellen von G. Es ist so wie Du sagst. Es gilt dann
G1/2= $\begin{eqnarray*} 0,5\pm \frac{0,5}{\sqrt{1+2B}} \end{eqnarray*}$

22.12.2008, 17:41

Airblader

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Dann schreibe am Besten auch eine Gleichung und keine Ungleichung. Augenzwinkern

Für den Fall $\begin{eqnarray*} B \neq 1 \end{eqnarray*}$ hast du ja bereits vereinfacht zu

$\begin{eqnarray*} 2G(1-G) = \frac{B}{1+2B} \end{eqnarray*}$

Wieso machst du nicht einfach mal weiter?

P.S.:
Auch Variablen haben keine Nullstellen. Sowas gibts nur bei Funktionen Augenzwinkern

air

22.12.2008, 17:43

LutherLex

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Hab schon einiges versucht (auf pq-Form bringen und die Formel anwenden), aber auf die oben angegebene Lösung komme ich nicht. Kannst Du da helfen?

22.12.2008, 17:45

Airblader

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Dann zeige mal deinen Weg. pq-Formel und Umformen klappt wunderbar. Man muss halt nur gucken, dass man auch auf exakt die o.g. Form kommt.

Wie weit kommst du denn?

air

22.12.2008, 17:54

LutherLex

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Das Abtippen dauert immer etwas smile

$\begin{eqnarray*} G^{2} -G+\frac{B}{2(1+2B} =0 \Rightarrow -\frac{G}{2} \pm \sqrt{\frac{G^2}{4}- \frac{B}{2(1+B}} \end{eqnarray*}$

Wenn ich an dieser STelle G ermitteln möchte, scheitere ich.

0<B<0,5
0<G<1

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)

22.12.2008, 18:00

Airblader

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Also die Umformung links stimmt. Aber was soll der Unfug nach dem Folgepfeil? verwirrt

Aus einer Gleichung kann doch kein Term folgen. Und die pq-Formel scheinst du gründlich falsch verstanden zu haben Augenzwinkern

Zitat:

Die quadratische Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^2 + px + q = 0 \end{eqnarray*}$

besitzt die Lösungen

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q} \end{eqnarray*}$

Angewendet auf

$\begin{eqnarray*} G^2 - G + \frac{B}{2(1+2B)} = 0 \end{eqnarray*}$

erhält man also

$\begin{eqnarray*} G_{1,2} = \frac12 \pm \sqrt{\frac14 - \frac{B}{2(1+2B)}} \end{eqnarray*}$

Und das kannst du nun umformen Augenzwinkern

P.S.:
Es mag kurz dauern, ist aber toll, dass du es machst!
Wenn du eine neue Zeile machen willst, setze bitte auch neue LaTeX-Befehle - um diese hässlichen "<br />" zu verhindern. Augenzwinkern

air

22.12.2008, 18:10

LutherLex

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An der Stelle komme ich nicht auf das Ergebnis. Gibt es beim Wurzelziehen jetzt eine spezielle Regel?

22.12.2008, 18:12

Airblader

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Bringe die Summanden unter der Wurzel auf einen Bruch. Danach kannst du sozusagen zweimal die Regel

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\qquad a,b > 0 \end{eqnarray*}$

anwenden. Nämlich einmal für die 4 im Nenner und einmal für die 1 im Zähler.

air

22.12.2008, 18:25

LutherLex

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1+2B}{4(1+2B)}-\frac{2B}{4(1+2B)}} \Rightarrow \sqrt{1/(4+8B)} \end{eqnarray*}$

Wenn ich dann die Wurzel ziehe, ergibt sich $\begin{eqnarray*} 0,5+0,5*\sqrt{(1+2B)} \end{eqnarray*}$

Wäre das so richtig? Vielen Dank für deine Hilfe smile

22.12.2008, 18:41

Airblader

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Ich bin mir nicht bewusst, ob du das richtige meinst oder nicht. Was da steht ist jedenfalls Unsinn.
Bitte pass etwas mit dem Folgepfeil auf. Zwei Terme können gleich sein, aber ein Term folgt nicht aus einem anderen.
Soweit bist du - denke ich - noch gekommen:

$\begin{eqnarray*} G_{1,2} = \frac12 \pm \sqrt{\frac{1}{4(1+2B)}} \end{eqnarray*}$

Und das nun umgeformt ergibt:

$\begin{eqnarray*} G_{1,2} = \frac12 \pm \frac{1}{2 \sqrt{1+2B}} \end{eqnarray*}$

Schöner wäre es. eig., das 1/2 auszuklammern, aber um auf die Form der Lösung zu kommen formt man es eben anders um:

$\begin{eqnarray*} G_{1,2} = 0.5 \pm \frac{0.5}{\sqrt{1+2B}} \end{eqnarray*}$

air

22.12.2008, 19:25

LutherLex

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Okay, merci!

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