Mengen

22.12.2008, 19:06	HaxlWaxl	Auf diesen Beitrag antworten »
Mengen Hallo, bereite mich gerade auf Matheprüfung vor und habe wenig Ahnung von Mengen. $\begin{eqnarray} M = X \in \mathbb R \{\mid 2x \mid < \mid x+6 \mid -x \} \end{eqnarray}$ bestimmen sie die folgende Menge. So was ich verstanden habe. Es werden alle Werte gesucht welche die GLeichung lösen. z.b x = 2 würde das Ding lösen. Generell macht mir sowas keine Probleme doch der Betrag macht es für mich kompliziert. Ich habe mir überlegt, dass 2x ja eine Funktion ist welche die Steigung zwei hat und in 0/0 einen Knick hat, bzw an der y-achse gespiegelt wird. Die Funktion x+6 ist eine Ursprungsgerade mit y achsenabscnitt 6 und hat einen knick bei x = -6. So jetzt habe ich mir das vorgestellt, es sind beide lineare Funktionen mit unterschiedlichen Steigungen also schneiden sie sich irgendwann mal, bei dem Betrag muss das zwar nicht sein aber sie müssen es weil sonst würde die aufgabe scheisse sein. So erstmal das leichte, wenn x > 0 . Dann kann der Betrag weg. und ich bekomme einen Schnittpunkt bei x = 3. Was aber nun wenn x < 0. Dann bleibt der Betrag stehen. Ich denke nun über Fallunterscheidung nach allerdings weiss ich nicht recht wie ich das machen soll. Logisch überlegt muss noch ein schnittpunkt bei x = -3 sein aber ich würde es gerne auf alle aufgaben anwenden können und nicht nur jetzt durch die einfache aufgabenstelung das Teil lösen. Wie geht das formal richtig?
22.12.2008, 19:19	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Die Mengenschreibweise ist falsch. Korrekt wäre: $\begin{eqnarray} M = \{x \in \mathbb{R}: \|2x\| < \|x + 6\| - x \} \end{eqnarray}$ Aber $\begin{eqnarray} M = x \in \mathbb R \{\|2x\| < \| x+6 \| -x \} \end{eqnarray}$ ergibt keinen Sinn. Wenn es nur an LaTeX liegt, nehme ich alles zurück. Zur Ungleichung: Du brauchst Dir gar nicht so viel Mühe mit einer geometrischen Lösung zu machen. Es reicht aus, wenn Du mehrere Fallunterscheidungen machst, dann fallen die Beträge weg: Schränke die Grundmenge zuerst so ein, dass beide „Betragsinhalte“ nichtnegativ sind -- das tritt genau dann ein, wenn Du für x eingesetzten Zahlen größer/gleich 0 sind. Hier ermittelst Du schonmal die Lösungen -- die Betragsstriche kannst Du ja einfach weglassen. Zweiter Fall: Beide Betragsinhalte sind negativ. Das gilt genau dann, wenn die für x eingesetzten Zahlen kleiner als -6 sind. Auch hier ersetzt Du die Beträge entsprechend und ermittelst Dann die Lösungen. Die beiden noch fehlenden Fälle sind klar, oder?
22.12.2008, 19:31	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann das so machen. Man betrachtet für $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ die Differenzfunktion $\begin{eqnarray} f(x) = \| x + 6 \| - 2\|x\| - x \end{eqnarray}$ Gesucht sind nun alle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , für die $\begin{eqnarray} f(x)>0 \end{eqnarray}$ ist. $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist stetig. Daher werden die Vorzeichenbereiche von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ durch die Nullstellen bestimmt (Zwischenwertsatz). Um nun diese zu bekommen, löst man die Gleichung $\begin{eqnarray} \pm \left( x + 6 \right) \mp 2x - x = 0 \end{eqnarray}$ mit allen möglichen Vorzeichenkombinationen (vier Fälle). So bekommt man die möglichen Kandidaten für Nullstellen. Man macht dann die Probe, welche der Kandidaten tatsächlich Nullstellen von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ sind. Für jedes der durch die Nullstellen von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ bestimmten offenen Intervalle bestimmt man das Vorzeichen durch Einsetzen einer beliebigen Zahl aus dem Intervall.
22.12.2008, 19:45	HaxlWaxl	Auf diesen Beitrag antworten »
nein die anderen Fälle sind nicht klar. x>0 ist klar x< -6 ist klar dann hätte ich noch x<0 aber x>-6 bzw -6 < x <0 Die geometrische Lösung finde ich besser, kann man sicher eher vorstellen.
22.12.2008, 22:42	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Und bei meinem Vorschlag mit $\begin{eqnarray} f(x) = \| x + 6 \| - 2 \|x\| - x \end{eqnarray}$ geht das so: $\begin{eqnarray} f(x) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{1. Fall:} \ \ x+6 - 2x - x = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x = 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{2. Fall:} \ \ x+6 + 2x - x = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x = -3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{3. Fall:} \ \ -x-6 - 2x - x = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x = - \frac{3}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{4. Fall:} \ \ -x-6 + 2x - x = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \text{falsch} \end{eqnarray}$ Die Probe zeigt, daß $\begin{eqnarray} -3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 3 \end{eqnarray}$ die Nullstellen von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ sind. Intervall $\begin{eqnarray} (-\infty,-3) \end{eqnarray}$ : Mit $\begin{eqnarray} f(-4) = -2 \end{eqnarray}$ folgt: $\begin{eqnarray} f(x) < 0 \end{eqnarray}$ Intervall $\begin{eqnarray} (-3,3) \end{eqnarray}$ : Mit $\begin{eqnarray} f(0) = 6 \end{eqnarray}$ folgt: $\begin{eqnarray} f(x) > 0 \end{eqnarray}$ Intervall $\begin{eqnarray} (3,\infty) \end{eqnarray}$ : Mit $\begin{eqnarray} f(4) = -2 \end{eqnarray}$ folgt: $\begin{eqnarray} f(x) < 0 \end{eqnarray}$ Insgesamt ergibt sich: $\begin{eqnarray} f(x) > 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x \in (-3,3) \end{eqnarray}$ Dieses Vorgehen hat einen Vorteil: Es ist übersichtlich und funktioniert. Es hat aber auch einen Nachteil: Man rechnet überflüssige Dinge aus (der 3. Fall oben tritt, wie erst die Probe zeigt, gar nicht ein).

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