Multilinear

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energyfull Auf diesen Beitrag antworten »
Multilinear
hi leute wie kann ich diese aufgabe lösen:

sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum, und

ich soll beweisen, dass der Vektorraum aller multilineare Abbildungen



endlich-dimensional ist.

wie kann ich hier vorgehen??
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

finde und definiere die Basisvektoren (hier: Multilinearformen) dieses Vektorraums und zeige, das diese Vektoren zusammen eine Basis darstellen, d.h. lineare Unabhängigkeit und Erzeugendensystem.

Um die Basisvektoren zu finden, hilft es, den Dualraum anzuschauen (vorausgesetzt, du hattest das schon).

Ein weiterer Weg ist, sich zu überlegen, durch was eine Multilinearform eindeutig bestimmt ist und dazu, wie du alle Multilinearformen über eine geeignete Wahl von Basisvektoren als Linearkombination darstellen kannst.
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

hee ich verstehe das nicht, dualsystem und so weiter hatten wir nicht und deinen anderen weg verstehe ich auch nicht so sehr
Raumpfleger Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von energyfull
hee ich verstehe das nicht, dualsystem und so weiter hatten wir nicht


Es wäre gut, sich das anzuschauen, ein kurzer Weg zum Verständnis (mit Aufgaben) führt über die beiden Broschüren H. Boseck: Einführung in die Theorie der linearen Vektorräume und H. Boseck: Tensorräume.

Aber gut, auf direktem Wege kann man wie folgt argumentieren: die multilineare Abbildung , wobei V Vektorraum über K ist und , ist definiert durch
.

Um f zu konstruieren, muss man einen linearen Ausdruck in allen Komponenten finden. Was sind alle Komponenten? Das sind die Vektorkomponenten der m teilnehmenden (Urbild-)Vektoren: , jede dieser Komponenten muss linear in der zu konstruierenden multilinearen Abbildung auftreten, was sofort den Ansatz liefert.

Wieviele Komponenten gibt es? Die Urbildvektoren haben m n Komponenten, der Ausdruck enthält Elemente von K. Also vermutet man .

Das ist auch tatsächlich so, denn die Basis in ist durch jene gegeben, die an genau einer Position eine 1 zu stehen haben und sonst überall Nullen: schreiben, anderenfalls ist die Art der nun folgenden Summenbildung missverständlich: Das allgemeine A wird erzeugt, indem die Produkte von Kroneckersymbolen einen Faktor bekommen und dann alle Produkte aufsummiert werden.

Du musst nun zeigen, dass für die so aufgebauten die Vektorraumaxiome gelten, dann hast Du einen n^m dimensionalen Vektorraum der multilinearen Abbildungen aufgebaut, denn die ganze Argumentation bezieht sich auf eine festgehaltene Basis in V. Was passiert bei einem Basiswechsel in V? Dann haben für dieselbe Abbildung f natürlich die A auch andere Werte. Da sich aber bei einem Basiswechsel in V die Dimension von V nicht ändert, ändert sich auch die Dimension des Vektorraums der nicht und Vektorräume gleicher Dimension über demselben Körper sind zueinander isomorph.

Wenn Du herausfinden willst, wie sich die bei einem Basiswechsel in V transformieren, kommst Du nicht darum herum festzustellen, dass diese A ein Tensor m-ter Stufe sind und damit sind wir wieder bei den Broschüren (oder äquivalenter Literatur) vom Anfang des postings.
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

danke für deine antwort

sieht bisschen kompliziert aus aber ich versuche es zu verstehen

heisst es jetzt dass der Vektorraum Mult_n aller multilinearen abbildungen endlich dimensional ist
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Das sollst du ja beweisen.

Wichtige Voraussetzung ist dabei, das V und K endlich dimensional sind.
 
 
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von energyfull
danke für deine antwort

sieht bisschen kompliziert aus aber ich versuche es zu verstehen



könntet ihr mir auch beim beweis helfen, wie gesagt ich finde es total kompliziert und weiss nicht wo ich anfangen soll

traurig
Raumpfleger Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von energyfull
könntet ihr mir auch beim beweis helfen, wie gesagt ich finde es total kompliziert und weiss nicht wo ich anfangen soll

traurig


Du fängst an bei m = 2, dann sind diese quadratische Matrizen und man sieht sich der Aufgabe gegenüber, die Matrizen über K als Vektorraum der Dimension aufzufassen. Das ist nun nicht total kompliziert und nicht zuviel verlangt (Du musst eine Basis bestimmen, das hat Romaxx schon für den allgemeinen Fall verlangt, das ist bei n=2 genauso, usw. usf.).

Befreie Dich von der Vorstellung, dass es kompliziert sei, Du willst ja etwas Neues kennenlernen. Es war für Grassmann kompliziert - der die damals sogenannte Ausdehnungslehre eingeführt hat - heute weiss man ja schon, dass es ordentliche Resultate gibt: sonst hätte die vorliegende Aufgabe gar nicht gestellt werden können. Also, nur Mut!
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