Cholesky-Zerlegung -> Gestaffeltes System

23.12.2008, 15:20	PeterZ	Auf diesen Beitrag antworten »
Cholesky-Zerlegung -> Gestaffeltes System Hallo Alle zusammen, Ich habe eine Frage ( ganz allgemein ) : Ich eine Aufgabe habe Ax = b , wobei A eine Matrix und x und b vektoren sind. Diese soll ich mit einer Cholesky-Zerlegung lösen. Das führt auf ein Gestaffeltes system: wobei ich zuerst L^Tx = y dannach L*y=b löse. Nun zu meiner Frage: Muss ich in jedem Fall ( L^-1 und (L^t)^-1 ) die inversen berechnen oder wie gehe ich da am besten vor?? ^L^ gruß PeterZ
23.12.2008, 15:34	hxh	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Cholesky Zerlegung muss die Matrix A symmetrisch und positiv definit sein. Du musst einfach die Formel der CHolesky Zerlegung anwenden, welche dir die Matrix L liefert. DAnn ist $\begin{eqnarray} A= L L^T \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Ax= L L^T x = b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L^T x := y \end{eqnarray}$ löse $\begin{eqnarray} L y = b \end{eqnarray}$ und dann $\begin{eqnarray} L^T x = y \end{eqnarray}$
23.12.2008, 15:43	PeterZ	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist mir alles bekannt, aber um L^T * x = y zu lösen, muss ich da L^T invertieren oder geht es da einfacher?
23.12.2008, 15:45	PeterZ	Auf diesen Beitrag antworten »
sry für den Doppelpost: ich frage deswegen weil ich ja x nicht kenne....
23.12.2008, 15:59	hxh	Auf diesen Beitrag antworten »
L^T ist die Transponierte Matrix von L , die kennst du ja wenn du L ausgerechnet hast. DU musst dann 2 Lineare Gleichungssysteme lösen. Ly=b , du kennst L und b und kannst somit eine Lösung für y finden. Nun löst du L^T x = y , du kennst L^T und y also kannst du eine Lösung für x finden.
23.12.2008, 16:04	PeterZ	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank ! ^L^
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23.12.2008, 16:33	PeterZ	Auf diesen Beitrag antworten »
so und nun kommen meine bedenken wieder zurück. es ist doch ein erheblich größerer rechenaufwand die zwei LGSe zu lösen als einfach auf das standart Lgs (Ax = b ) den gauß algorithmus anzuwenden - . - .... wollte ich nur mal gesagt haben gruß PeterZ
23.12.2008, 16:49	hxh	Auf diesen Beitrag antworten »
Von Hand ist der Aufwand größer. Es ist jedoch zu beachten, dass es um Algorithmen für den PC geht und da können diese weniger Rechenaufwand haben. Ich weiß jedoch grade auch nicht genau wie Groß die Anzahl an Punkt- und Strichoperationen ist.

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