Lineare Abbildung angeben

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Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung angeben
Hi!

Ich sitze gerade an einer Aufgabe und weiss nicht, ob ich überhaupt richtig verstanden habe, was ich zu tun habe. Es geht darum, eine lineare Abbildung anzugeben, die zu der in der Aufgabe gegebenen Beschreibung passt. Anschliessend muss man die dazu passende Abbildungsmatrix (jeweils mit den Standardbasen beider Räume) angeben.

Die ersten Aufgaben waren insofern einfach, als dass die Input- und Output-Vektoren explizit angegeben waren, also f(...) = ... etc.

Nun steht: mit und .

Ich habe mir dann überlegt, dass die Vektoren aus Bild(f) von der Form und die von Kern(f) von der Form sind.

Nun suche ich also eine Abbildung, die alle Vektoren aus Kern(f) auf den Nullvektor und alle Vektoren aus Bild(f) *nicht* auf den Nullvektor abbildet. Dazu habe ich genommen.

Bevor ich jetzt weiter mache: Habe ich da überhaupt richtig verstanden, was ich tun soll? Von dieser Abbildung auf die Abbildungsmatrix zu kommen ist an sich kein Problem (zumindest hat es bei den anderen Aufgaben problemlos geklappt).

Danke & Gruss
Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildung angeben
Korrektur zur ungenauen bzw. falschen Formulierung Eine Abbildung, die Vektoren aus Kern(f) auf den Nullvektor abbildet und bei der es zu allen Vektoren aus Bild(f) einen Vektor v in R^3 als Urbild gibt.
Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildung angeben
Ich bin gerade noch einmal zu dieser Aufgabe zurückgekehrt und habe meine Meinung geändert: Eine solche Abbildung gibt es wohl gar nicht.

Die Struktur von Bild(f) führt zu einer Abbildung der Form , diese würde aber auch Vektoren auf den Nullvektor abbilden, die gemäss Aufgabenstellung nicht in Kern(f) enthalten sind inbesondere gilt dies für alle Vektoren der Form (0,a,0)^T.


Jetzt weiss ich allerdings noch nicht, wie ich das formell sauber aufschreiben soll (ich muss ja beweisen, dass es diese Abbildung nicht geben kann)
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Der Basisvektor vom Kern ist linear abhängig zu den Basisvektoren des Bildes. Nun eine Idee?
Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »

Im Kurs wurde nie eine Beziehung zwischen der Basis des Bilds und jener des Kerns hergestellt; insofern kommt mir da keine Idee unglücklich

Mein Versuch, etwas über die Abbildungsmatrix zu basteln, ist leider fehlgeschlagen.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab auch keine Ahnung was tmo mit seinem Tipp meint.

Aber die Aufgabe an sich ist total einfach: Eine lineare Abbildung ist festgelegt durch die Bilder der Basis. Also ergänze (-1,0,1) zu einer Basis und schicke die Basisvektoren entsprechend auf die Bildvektoren/den Nullvektor.
 
 
Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich zu (-1,0,1)^T noch die zwei Vektoren (0,1,-1)^T und (1,0,0)^T nehme, bilden diese drei eine Basis von R^3. (Es sei denn, ich hätte mich beim Umformen der Matrix verrechnet)

Jetzt ist klar, dass (-1,0,1)^T auf den Nullvektor abgebildet wird, denn dieser Vektor ist ja gerade die Basis des Kerns. Die anderen beiden müssen nun in den Raum Bild(f) abgebildet werden. Die Bilder von Basisvektoren bilden ja ein Erzeugendensystem; also würde es sich anbieten, eine lineare Abbildung zu suchen, die (0,1,-1)^T und (1,0,0)^T auf die beiden Basisvektoren von Bild(f) abbildet -- aber da kann man ja je nach Auswahl der Vektoren ziemlich lange suchen...?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Nun suche ich also eine Abbildung, die alle Vektoren aus Kern(f) auf den Nullvektor und alle Vektoren aus Bild(f) *nicht* auf den Nullvektor abbildet.


Wer hat das denn so formuliert? Notwendig ist wohl schon einmal, dass ein Endomorphismus von V vorliegt. Ein Vektor aus V liegt ja gerade dann im Kern, wenn er auf den Nullvektor abgebildet wird. Also ist doch der erste Teil "sinnfrei". Weiter ist der Nullvektor auch im Bild vorhanden. Also ist die Aufgabe so schlecht formuliert.

Frage ist nun, wie sich der Endomorphismus unter Iteration verhält. Da kein Vektor aus dem UVR "Bildraum", der vom Nullvektor verschieden ist, wieder auf den Nullvekor abgebildet werden darf, muss was am einfachsten vorliegen?

Und in diesem einfachsten Fall gilt etwas, auf das tmo wohl anspielt. Augenzwinkern
Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wer hat das denn so formuliert? Notwendig ist wohl schon einmal, dass ein Endomorphismus von V vorliegt. Ein Vektor aus V liegt ja gerade dann im Kern, wenn er auf den Nullvektor abgebildet wird. Also ist doch der erste Teil "sinnfrei". Weiter ist der Nullvektor auch im Bild vorhanden. Also ist die Aufgabe so schlecht formuliert.


Die Formulierung kam von mir; leider funktioniert ein Edit nur in den ersten 15min nach dem Posten, deshalb habe ich die Korrektur auch nur als Antwort schreiben können.

Es ging darum, aufzuzeigen, welche Überlegung ich beim Lösen anstellte. Die Aufgabe lautete nur: Finden Sie eine passende linare Abbildung oder begründen Sie, warum es eine solche nicht geben kann.

Zitat:
Frage ist nun, wie sich der Endomorphismus unter Iteration verhält.


Da ich den Endomorphismus erstman finden muss, kann ich ja noch keine Aussage darüber machen, wie er sich unter Iteration verhalten wird.

Zitat:
Da kein Vektor aus dem UVR "Bildraum", der vom Nullvektor verschieden ist, wieder auf den Nullvekor abgebildet werden darf, muss was am einfachsten vorliegen?


Das ist ja gerade mein Problem: Ich sehe es einfach nicht. Ich versuche, mit Gleichungen dahinter zu kommen, aber irgendwas kommt immer verkehrt raus.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm mal die EINFACHSTE aller Abbildungen. Welche ist das?

Was ist so besonders am Nullvektor?
Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »

Am Nullvektor ist an sich nichts Besonderes.

Die einfachste aller Abbildungen ist IMHO die identische Abbildung, aber dann stimmt ja das mit dem Kern nicht mehr.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Was stimmt dann mit dem Kern nicht mehr? Nehmen wir mal, damit du es besser siehst, 2 VR V und W:



Dann gilt







Somit gilt:



Und der Nullvektor ist schon ein ganz besonderer Vektor. http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/155058,0.html
Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Was stimmt dann mit dem Kern nicht mehr?


Dann ist der Kern nicht mehr der in der Aufgabenstellung beschriebene Vektorraum, weil ja die identische Abbildung nur den Nullvektor auf den Nullvektor abbildet, die Aufgabenstellung aber verlangt, dass alle Vektoren aus <(-1,0,1)^T> auf den Nullvektor abgebildet werden.

Oder verstehe ich da jetzt was falsch?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Es kommt darauf an, was du als Aufgabe gesehen hast. Ich bezog mich auf das, was ich zitiert habe. Augenzwinkern

Zitat:

Zitat:
Nun suche ich also eine Abbildung, die alle Vektoren aus Kern(f) auf den Nullvektor und alle Vektoren aus Bild(f) *nicht* auf den Nullvektor abbildet.


Wenn du nun aber willst, dass der Kern wie folgt aussieht:

,

Dann ergänze den Vektor doch einfach zu einer Basis, und bilde dann Identisch ab. Durch scharfes Hinsehen können wir sogar die ersten Einheitsvektoren benutzen. Also wir nehmen die Basis:



Nun bilden wir so ab (Bezüglich Linearkombinationen der Basisvektoren von B)



Das rechnen wir nun noch auf die Gestalt bezgl. der Basis nur bestehend aus Einheitsvektoren um. [Artikel] Basiswechsel
code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
27:
28:
29:
30:
31:
32:
33:
34:
35:
36:
37:
38:
39:
40:
41:
42:
43:
44:
45:
46:
47:
48:
49:
50:
51:
52:
53:
54:
55:
56:
57:
>> Basiswechsel
 
Für eine lin. Abb. F: V->W werden Basiswechsel berechnet
 
Lin. Abb. zwischen V->W eingeben
 
             M1            
     B1 ----------> B1     
     /\             /\     
     |               |     
V    S               T    W
     |               |     
     |               |     
     B2 ----------> B2     
             M2            
 
Dimension von V: n= 3
Dimension von W: m= 3
 
Koordinaten der Basis 2 von V bzgl. der Basis 1 eingeben: 
Vektor 1: [1,0,0]
Vektor 2: [0,1,0]
Vektor 3: [1,0,1]
 
Koordinaten der Basis 2 von W bzgl. der Basis 1 eingeben: 
Vektor 1: [1,0,0]
Vektor 2: [0,1,0]
Vektor 3: [1,0,1]
 
M bzgl. Basis 1 oder Basis 2? 1
 
M = [1,0,0;0,1,0;0,0,0]
 
y=(TI*M1*S)x=M2x
S =
     1     0     1
     0     1     0
     0     0     1
M1 =
     1     0     0
     0     1     0
     0     0     0
TI =
     1     0    -1
     0     1     0
     0     0     1
M2 =
     1     0     1
     0     1     0
     0     0     0
 
Bild von Vektor x2 berechnen 
x= [-1;0;1]
y =
     0
     0
     0
Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Es kommt darauf an, was du als Aufgabe gesehen hast. Ich bezog mich auf das, was ich zitiert habe.


Also auf den "sinnfreien" Teil, der in meinem ersten Posting unterhalb der eigentlichen Aufgabenstellung stand, auf den ich mich im zweiten Posting korrigierend bezog und dann, nach deiner Nachfrage noch einmal als von mir stammend und falsch bezeichnete?

Das hier ist die Aufgabe:

---
Ich sitze gerade an einer Aufgabe und weiss nicht, ob ich überhaupt richtig verstanden habe, was ich zu tun habe. Es geht darum, eine lineare Abbildung anzugeben, die zu der in der Aufgabe gegebenen Beschreibung passt. Anschliessend muss man die dazu passende Abbildungsmatrix (jeweils mit den Standardbasen beider Räume) angeben.

Die ersten Aufgaben waren insofern einfach, als dass die Input- und Output-Vektoren explizit angegeben waren, also f(...) = ... etc.

Nun steht: mit und .
---

Und viel weiter bin ich immer noch nicht gekommen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Auf das was ich zitiert habe, bezogen sich auch meine Kommentare. Augenzwinkern Und ich habe ja auch erläutert, warum es sinnfrei ist.

Zitat:

Nun steht: mit und .


Und wir sollen nun eine Abbildungsmatrix finden? ok. Toll ist ja, dass wir einen Endomorphismus haben. Bild und Kern sind UVR der IR³ und haben den Nullvektor gemein (denn sonst wären es ja auch keine UVR).

Nun ist die Frage, ob noch mehr im Schnitt liegt. Das bedeutet, das ein Vektor zum Beispiel erst bei der Iterierten A² auf den Nullvektor abgebildet wird. Schauen wir doch mal den Rang folgender Matrix an:

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
B=[1,0,-1;-1,1,0;0,-1,1]
B =
     1     0    -1
    -1     1     0
     0    -1     1
>> rank(A)
ans =
     2


Somit sind die 3 Vektoren l.a. und da offensichtlich keine Vielfachen dort stehen, können wir den Kernvektor aus den Bildvektoren linear kombinieren:



Wie können wir nun die zugehörige Matrix finden? In der Matrix stehen (wie schon gesagt wurde) die Bilder der Basisvektoren. Welcher Basis? Meist der Standardeinheitsvektoren.Der Kern macht es uns leicht.



Was muss also für die erste und dritte Spalte der darstellenden Matrix von f gelten?
Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »

Bisher hatte ich immer zuerst versucht, die Abbildung zu finden und dann (eben über die Bilder der Basisvektoren) die zugehörige Matrix zu bestimmen. Im Moment sehe ich eigentlich nur etwas:

Es ist

also gilt:

Aber damit habe ich ja die Abbildung noch nicht gefunden. verwirrt
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich ja auch nicht behauptet, dass man die Abbildung in einem Schritt findet. Aber du weißt schon mal, dass die erste und dritte Spalte der Matrix gleich sein müssen.

Nun musst du mit dem Bild weiterarbeiten. Was kannst du aus der Angabe der Basisvektoren folgern?
Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »

Das war auch kein Vorwurf; eher habe ich das Gefühl, dass ich hier mal wieder unnötig schwer von Begriff bin...

Das Bild wird aufgespannt aus zwei Vektoren; der erste ist e1-e2 und der zweite e2-e3. Jetzt müsste ich mir wohl irgendwie die Tatsache zu Nutzen machen, dass die Bilder der Basisvektoren ein Erzeugendensystem von Bild(f) liefern.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

dann nutze mal.
Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »

Es lassen sich alle Vektoren aus Bild(f) als Linearkombination der Art

a(e1-e2)+b(e2-e3)

darstellen, also müssen auch f(e1), f(e2) und f(e3) sich so schreiben lassen.

Aber Bild(f) ist ja 2-dimensional; woher soll ich wissen, welchen der drei Vektoren ich weglassen soll?

Ausserdem geben f(e1),f(e2),f(e3) ein Erzeugendensystem, aber (selbst nachdem ich es richtig auf zwei Vektoren reduziert habe) nicht notwendigerweise dasjenige, welches in der Aufgabe als Basis von Bild(f) genannt ist.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Nun steht: mit und .


Es reicht doch, die Bilder der e1 und e2 vorzugeben. e3 kennen wir doch dann. und Warum dann nicht einfach das nehmen, was da schon schön vorgegeben ist?

Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Warum dann nicht einfach das nehmen, was da schon schön vorgegeben ist?


Weil mir ehrlich gesagt nicht klar ist, wieso ich das einfach so machen darf...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ja warum denn nicht? In den Spalten stehen die Bilder der Basisvektoren und ich darf mir die Abbildung unter den Voraussetzungen basteln wie ich mag...
Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast du natürlich recht; vielen Dank auf jeden Fall für die Hilfe. Ich weiss nicht, warum ich hier solche Mühe hatte.

Vielleicht, weil ich immer versucht hatte, eine Abbildung "direkt" anzugeben, also hier entsprechend .

Bei den anderen Aufgaben ging das immer sehr schön und recht einfach, aber hier fand ich das viel schwieriger, wahrscheinlich weil keine konkreten Vektoren gegeben waren, denen ich es ansehen konnte.
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