Delta-Epsilon-Umgebung bei der Grenzwertrechnung

26.12.2008, 09:14	Gugi	Auf diesen Beitrag antworten »
Delta-Epsilon-Umgebung bei der Grenzwertrechnung Hallo allerseits, Zu Zeigen ist, dass $\begin{eqnarray} x^{3} \end{eqnarray}$ an der Stelle 1 stetig ist, in dem man zu jedem Epsilon ein Delta findet! D.h. $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 1}x^{3} = 1 \end{eqnarray}$ Dauraus folgt weiters, dass eingesetzt in die Ungleichungen $\begin{eqnarray} \mid x-x_{0}\mid \leq\delta \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mid f(x)-\alpha \mid \leq\epsilon \end{eqnarray}$ sich folgendes ergibt: $\begin{eqnarray} \mid x-1\mid \leq\delta \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mid x^{3}-1 \mid \leq\epsilon \end{eqnarray}$ Wie muss ich hier vorgehen? Muss ich hier nur die Ungelichungen lösen, das würde aber nichts bringen? Meine Überlegung: $\begin{eqnarray} \mid x^{3}-1 \mid \leq\epsilon \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \mid x^{3}-1 \mid=\mid x^{3}-1^{3}\mid = \mid (x-1)^{3}+3x^{2}-3x\mid=\mid (x-1)^{3}+3x (x-1)\mid=\mid (x-1) ((x-1)^{2}+3x)\mid \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\mid (x-1)\mid\cdot\mid((x-1)^{2}+3(x-1+1))\mid=\mid (x-1)\mid\cdot \mid((x-1)^{2}+3(x-1)+3))\mid \end{eqnarray}$ nun da $\begin{eqnarray} \mid x-1\mid \leq\delta \end{eqnarray}$ ist folgt daraus, dass $\begin{eqnarray} \mid (x-1)\mid\cdot \mid((x-1)^{2}+3(x-1)+3))\mid\leq\delta\cdot(\delta^{2}+3\delta+3) \end{eqnarray}$ ist! $\begin{eqnarray} \delta\cdot(\delta^{2}+3\delta+3)\leq\epsilon\Rightarrow \delta^{3}\leq\frac{\epsilon}{3} , 3\delta^{2}\leq\frac{\epsilon}{3} , 3\delta\leq\frac{\epsilon}{3} \end{eqnarray}$ Nur ich bin mir bei der ganzen Sache sehr unsicher, könntet ihr mir vielleicht helfen? lg, gugi

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