Geschwindigkeit, Läufer

26.12.2008, 11:49	JannaM	Auf diesen Beitrag antworten »
Geschwindigkeit, Läufer Hi! Hab hier ne Aufgabe, bei der ich nicht weiss, wie ichs machen soll: Ein Läufer braucht für 42km genau 3 Stunden, wobei seine Geschwindigkeit nicht konstant (bergauf, bergab usw.) sei, aber stetig, d.h. insbesondere sei eine Position $\begin{eqnarray} x(t) \end{eqnarray}$ eine stetige Funktion. Gibt es innerhalb der drei Stunden eine Stunde, in der er genau 14km zurücklegt?
26.12.2008, 17:36	1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde so anfangen... Man weiss ja dass $\begin{eqnarray} x(0) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x(3) = 42 \end{eqnarray}$ Betrachte nun $\begin{eqnarray} g(t):= x(t) - 14 \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} x(t) \end{eqnarray}$ stetig ist auch $\begin{eqnarray} g(t) \end{eqnarray}$ stetig. Weiter ist $\begin{eqnarray} g(0) = x(0)-14 = -14 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g(3) = x(3)-14 = 28 \end{eqnarray}$ Somit ex. mit dem Zwischenwertsatz ein $\begin{eqnarray} t_0 \in (0,3) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g(t_0) = 0 \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} x(t_0) = 14 \end{eqnarray}$ Jetzt ist ja die Frage wegen der einen Stunden...
26.12.2008, 18:22	Soz.Päd.	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Tag, ich glaube, der vorherige Lösungsverschlag nicht korrekt ist. Es ist ja gefragt, ob es eine Stunde innerhalb dieser drei Stunden gibt, in der der Läufer 14 km zurücklegt. Also: g(t) = f(t) - f(t-1) wobei 1<= t<= 3 ist, (Der Weg, den der Läufer in einer Stunde zum Zeitpunkt t zurücklegt, ist ja die Gesamtstrecke (f(t)), von der die Gesamtstrecke vor einer Stunden (f(t-1) zu subtrahieren ist. Da f(t) stetig ist, ist auch g(t) stetig. Wir betrachten nun g'(t) = g(t) - 14. Für t setzen wir nun die Werte t1=1, t2=2 u. t3 =3 ein. Da 14 km genau der dritte Teil von der Gesamtstrecke = 42 km ist, verifiziere man, dass es nur drei Fälle geben kann für 1<= i <= 3 bzw. 2 <= i +1 < 3. 1. Es gibt ein ti = 14 km (dann ist der Fall klar). 2. Es gibt ein ti < 14 km und ein t(i+1) > 14 km. 3. Es gibt ein ti > 14 km und ein t(i+1) < 14 km. Auf Fall 1 u. 2 wende man den Zwischenwertsatz an. Gruß Soz.Päd.

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