Grenzwert: Wurzel

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eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert: Wurzel
Hallo!

Bei folgenden Grenzwert soll ich berechnen:





Mein Ansatz:

Die beiden Wurzeln gehen gegen 1, also die Klammer gegen 0 und n^2 natürlich gegen unendlich.

Damit habe ich: "unendlich mal 0".

Ich habe versucht es so umzuformen:





Aber jetzt komme ich nicht weiter. Wie sollte ich umformen?

Eine generelle Frage noch: Wann kann ich bei einem Plus- oder Minuszeichen den Term aufsplitten? Sicher darf ich das, wenn dann die beiden Grenzwerte existieren. Aber sonst?

mfg
Rare676 Auf diesen Beitrag antworten »

Probier es mal mit der 3. binomischen Formel Augenzwinkern
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »



Oder wie meinst du das?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert: Wurzel
Zitat:
Original von Rare676
Probier es mal mit der 3. binomischen Formel Augenzwinkern

Und wo soll die hier sein? unglücklich

Zitat:
Original von eierkopf1
Ich habe versucht es so umzuformen:



Die Idee ist richtig, aber ungünstig ausgeführt. Forme lediglich die Wurzeln mit der e-Funktion um:
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert: Wurzel
Danke sehr für die Antwort!

Das hatte ich auch schon versucht:
[/quote]

Aber wie gehts weiter?

PS: Wann darf ich so einen Term in 2 Grenzwertberechnungen zerlegen? Nur wenn beide Grenzwerte existieren, oder?

mfg
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert: Wurzel
Zitat:
Original von eierkopf1
Aber wie gehts weiter?

Das liegt doch auf der Hand:



Und jetzt l'Hospital.
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Oder ganz ohne L'Hospital. Mit schreibt sich das so:



Der dritte Faktor ist der Differenzenquotient der Funktion an der Stelle 0. Die Grenzwerte der beiden anderen Faktoren sind sowieso klar.
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert: Wurzel
Danke sehr für die Antworten!

@de l'Hospital:

Ich komme nicht weiter:



Das etwas umgeformt:



Den ln a könnte ich jetzt vor den lim ziehen. Jetzt habe ich aber die Situation von "Unendlich minus Unendlich". Jetzt könnte ich natürlich nochmal umformen und de l'Hospital anwenden. Aber der Ausdruck würde noch komplizierter werden. Und es ist keine Lösung in Sicht traurig

Aber was mache ich falsch?


@Leopolds Lösung

Das funktioniert nur, weil h gegen 0 geht. Weil wenn h nicht gegen 0 gehen würden, dann wäre es ja nicht mehr der Differentialquotient (Du meinst doch den Differentialquotienten, also den Grenzwert des Differenzenquotienten?), oder?

Diese Lösung find ich sehr elegant. Wie kommt man auf so eine Lösung? Erfahrung?


mfg
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich funktioniert das nur, weil h gegen 0 geht. Deswegen habe ich ja so umgeformt.

Und es heißt Differenzenquotient, solange man noch nicht zum Limes übergangen ist. Der Limes des Differenzenquotienten ist dann der Differentialquotient - ein kleiner, aber feiner Unterschied!

83,1 Prozent aller Aufgaben zu L'Hospital lassen sich direkt mit einem Differenzenquotienten oder geeigneten Potenzreihen lösen. Nur in der Minderzahl der Fälle ist L'Hospital wirklich erforderlich. Es reizt mich daher immer, eine Lösung zu suchen, die dieses schwere Geschütz nicht erfordert. Da die Exponenten gegen 0 streben, wenn n gegen Unendlich geht, war es naheliegend, den Term so hinzubiegen, daß der Differenzenquotient einer Exponentialfunktion an der Stelle 0 ins Spiel kommt. Daß es letztlich geklappt hat, war mir vorher auch nicht klar: trial and error.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert: Wurzel
Zitat:
Original von eierkopf1
Ich komme nicht weiter:



Ich gebe zu, ich hätte es vorher selbst rechnen sollen. Mit der Substitution n = 1/x erhält man:



Dann zweimal l'Hospital.
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke euch beiden!

Die de l'Hospital-Methode ist nicht gerade angenehm zu rechnen, aber habs hinbekommen Wink

mfg
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