Plausibler Schätzwert µ der Poissonverteilung

03.06.2004, 11:34

Demo

Plausibler Schätzwert µ der Poissonverteilung

Hallo

ich habe folgende Fkt.: p(x) = (µ^x e^-µ)/x!. Dann habe ich folgende Plausibitätsfkt.: l(deta;x1,..,xn) = Produkt von i=1 bis n der fkt. p(xi).

Ich muss jetzt irgendwie das Produkt auflösen mithilfe der Summen, d.h. ich habe dann:

(µ^(Summe von xi)) e^-µ oben, doch wie gehe ich bei x! vor? Ihr müsst mir nur sagen wie ich das Produkt von einzelnen xi! in Summe aufteile?

markus

03.06.2004, 18:16

Anirahtak

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Hallo,

ich behaupte, du musst im Exponenten e^-nµ stehen haben.

Um dann weiterzurechnen, würde ich dir empfehlen, die Log-Likelihood zu verwenden. Also ln(L(µ)).
Dann wird aus dem Produkt ne Summe, die du dann nach µ ableiten kannst.

Gruß
Anirahtak

03.06.2004, 21:52

Demo

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Machen wir's so, p(x) ist bei uns so definiert --> die Poissonverteilung. Kannst du mir da weiterhelfen, wie kann ich das Produkt von i=1 bis n von xi! in einer Summe darstellen? Ich hoffe du weißt was ich damit meine.

markus

17.06.2004, 18:06

Anirahtak

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Zitat:

Halllo!

Erst mal danke für deine Antwort. Da ich diese Woche Prüfung habe, muss ich schaun dass ich dieses Beispiel löse. Also ich muss den plausiblen Schätzwert µ der Poissonverteilung bestimmen.

p(x) = (µ hoch (x) mal e hoch (-µ)) durch x!.

Diese Formel ist bei uns im Skriptum so hinterlegt. Dann gibt es ja für die Berechnung des Schätzwertes eine Plausibilitätsfunktion. Also das Produkt aller p(x). Hier wende ich Likelihood an. Aus dem Produkt der p(x) wird folgendes:

(µ hoch Summe von x) mal e hoch (-µ*n), das ganze durch (x!)hoch n.

Anschließend nehme ich den Ln. Ich hab dann:

Summe von x mal ln µ - n ln µ - n ln x!.

Diese Fkt. leite ich nach µ ab, setze diese null. Nur löst sich da bei mir das µ auf.

Kannst mir bitte helfen mit einem Ansatz.

Danke markus

Hallo Demo,

du hast
$\begin{align*} L(\lambda)=e^{-\lambda n}\cdot\frac{1}{\bigprod{x_i!}}{\lambda}^{\bigsum{x_i}} \end{align*}$

Davon nimmst du den Logarithmus und erhältst:

$\begin{align*} l(\lambda)=-\lambda n + \bigsum \ln(x_i!)+\ln(\lambda)\cdot\bigsum{x_i} \end{align*}$

Nach \lambda ableiten und 0 setzen ergibt:

$\begin{align*} -n+\frac{1}{\lambda}\bigsum{x_i}=0 \end{align*}$

Damit folgt, dass dein Schätzwert das arithmetische Mittel der Stichprobe ist.

Gruß
Anirahtak

18.06.2004, 15:21

Demo

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Danke! War auch diese Woche beim Professor, der hat mir auch weitergeholfen.

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