Fläche die Kreis und Ellipse gemeinsam haben

26.12.2008, 16:39

tim taler

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Fläche die Kreis und Ellipse gemeinsam haben

Hallo,

ich möchte gerne die Fläche berechnen die ein Kreis und eine Ellipse gemeinsam haben.

Aufgabe:
Berechnen sie die Querschnittsfläche die ein Kreis mit Radius r=30 und eine Ellipse mit den Halbachsen a=40 und b=20 gemeinsam haben, wenn ihr Mittelpunkt der Koordinatenursprung ist. Ermittlen Sie den Inhalt.

ich denke ich brauche die Ursprungsgleichung von Kreis und Ellipse. Darin wären alle Parameter ausser x und y gegeben, aber bin mir nicht sicher ob der Ansatz richtig ist. Bitte um Hilfe.

Gruss, tt

26.12.2008, 18:12

TyrO

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Also , wenn du Schnittpunkte berechnen kannst, sowie die Integration durch Substitution kennst, dann solltest du deinen Ansatz verfolgen.

26.12.2008, 19:00

tim taler

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nun probieren wirs mal so.
ich habe nun die Schnittpunkte im ersten Quadranten durch gleichsetzen der beiden Ursprungsgleichungen und einsetzen der gegebenen Werte ermittelt.

$\begin{eqnarray*} x=\frac{20*\sqrt{15}}{3} \approx 25.819 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y= \frac{10*\sqrt{21} }{3} \approx 15.275 \end{eqnarray*}$

demnach

$\begin{eqnarray*} S_1( \frac{20*\sqrt{15} }{3}; \frac{10*\sqrt{21} }{3} ) \end{eqnarray*}$

wie gehts weiter?

Gruss, tt

26.12.2008, 19:46

TyrO

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Die Ergebnisse stimmen. Hast du schon eine Skizze angefertigt?
Hast du eine Idee, wie man mit Integration zur Lösung kommt?

26.12.2008, 20:10

tim taler

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Skizze habe ich mir gemacht. Aleerdings nur für den ersten Quadranten aber die Fläche kann man ja am Schluss mit 4 multiplizieren.
Habe auch schon ein paar Beispiele berechnet, in denen ich Flächen per Integralrechnung bestimmt habe.
aber diese Aufgabe hier scheint ein wenig schwieriger...
In meiner Skizze sehe ich das die gesuchte Fläche bis zum Schnittpunkt hin durch die Ellipse begrenzt wird und nach dem Schnittpunkt vom Kreisradius begrenzt wird. wenn man in richtung der positiven x-Achse geht.
aber wie man daraus jetzt was machen kann weiß ich leider nicht...

26.12.2008, 20:41

TyrO

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http://i42.tinypic.com/k48rp3.jpg

Sieht deine Zeichnung auch so aus?

Ich hab die Fläche zwischen der Ellipse und dem Kreis mit A bezeichnet.
Nehmen wir an, du hättest A berechnet, wie würdest du dann zur gesuchten Fläche kommen?

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26.12.2008, 21:35

tim taler

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ja so siehts bei mir auch aus.
wozu brauchen wir die Fläche zwischen Kreis und Ellipse, die du mit A bezeichnet hast? soll ich nicht die Fläche bestimmen die beide gemeinsam haben?
aber mal rein aus Interesse, könnte ich diese Fläche A bestimmen in dem ich wie gewohnt den Flächeninhalt zwischen 2 Kurven ausrechne?

26.12.2008, 21:43

TyrO

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Die Fläche, die beide gemeinsam haben, bestimmst du folgendermaßen :

$\begin{eqnarray*} A_{Kreis} - 4*A = ... \end{eqnarray*}$

Stimmst du mir zu?

26.12.2008, 22:04

riwe

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Zitat:

Original von tim taler
ja so siehts bei mir auch aus.
wozu brauchen wir die Fläche zwischen Kreis und Ellipse, die du mit A bezeichnet hast? soll ich nicht die Fläche bestimmen die beide gemeinsam haben?
aber mal rein aus Interesse, könnte ich diese Fläche A bestimmen in dem ich wie gewohnt den Flächeninhalt zwischen 2 Kurven ausrechne?

mit dem schnittpunkt $\begin{eqnarray*} S_1(x_s=20\cdot\sqrt{\frac{5}{3}}/y_s) \end{eqnarray*}$ der beiden kurven im 1. quadranten hast du

$\begin{eqnarray*} A=4\cdot ( b\int_{0}^{x_s}~\sqrt{1-(\frac{x}{a})^2}~dx +r\int_{x_s}^{r}~\sqrt{1-(\frac{x}{r})^2}~dx )=2084.29 \end{eqnarray*}$

wenn ich mich nicht verrechnet habe, was meistens der fall ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

das integral ist dir ja bekannt smile

smile

27.12.2008, 14:27

tim taler

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@Tyro:
ja ok, da stimme ich dir zu.
Demnach muss ich diese Fläche A bestimmen.
Sie liegt zwischen Ellipse und Kreisbogen und im Intervall (0;xs)...
Ich könnte also, da ich 2 Funktionen (Kreis,Ellipse) habe das Integral
von f(x) - g(x) nach dx berechnen, geht das so!

@werner:
du unterteilst die Fläche im ersten Quadranten in 2 Teile. Eine liegt im Intervall (0,xs) die andere im Intervall (xs,r).
Soweit verstehe ich.
wie aber kommst du auf diese Wurzeln?
und warum multiplizierst du einmal mit b und einmal mit r?

Gruss, tt

27.12.2008, 14:32

riwe

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der 1. teil ist die fläche unter der ellipse, der 2. der unter dem kreis smile

smile

daher im 1. quadranten:

$\begin{eqnarray*} y_E=+b\sqrt{1-(\frac{x}{a})^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_K=+r\sqrt{1-(\frac{x}{r})^2} \end{eqnarray*}$

wie du ja weißt, ist die ellipse das affine bild des kreises (oder umgekehrt) Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.12.2008, 15:40

tim taler

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von der Affinität habe ich gehört und gerade nochmal nachgelesen.
zB ein schief abgeschnittener Zylinder hat als untere Ebene einen Kreis und als obere Ebene eine Ellipse die sich affin verhalten...

aber ich weiß wirklich nicht, obwohl ich überall nachgesehen habe, was die Gleichung mit der Wurzel bedeutet bzw wie man darauf kommt?
bei wikipedia habe ich unter Ellipse -> Fläche eine ähnliche Gleichung gefunden, aber wie gesagt nur ähnlich. Leider fehlt mir hier noch eine Assoziation.

27.12.2008, 19:44

riwe

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das verstehe ich nicht so ganz.

löse die ellipsengleichung nach y auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\to y=\pm b\sqrt{1-(\frac{x}{a})^2} \end{eqnarray*}$

löse die kreisgleichung nach y auf:

$\begin{eqnarray*} x^2+y^2=r^2\to y=\pm r\sqrt{1-(\frac{x}{r})^2} \end{eqnarray*}$

das mit dem affinen bild war doch nur ein verweis auf das, was lula im anderen board geschrieben hat. smile

smile

28.12.2008, 17:47

tim taler

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ja ich erinnere mich daran.
ok nun wird mir einiges klar.
beim umstellen der kreisgleichung käme ich auf $\begin{eqnarray*} y_K=\sqrt{r^2-x^2} \end{eqnarray*}$
Ist ja nun gleichbedeutend mit deiner Lösung. Hast du nochmal umgeformt, damit man es beim Integrieren einfacher hat? denn ich hätte wohl mit meinem Ergebnis gerechnet ohne direkt zu erkennen das man es noch umformen kann.

nun zur Flächenformel.
Integral bestimmt Fläche unter einer Funktion. Teil 1 liegt unter Ellipse Teil 2 unterm Kreis. Schnittpunkt bzw xs teilt Intervalle auf der x-Achse. Daraus ensteht dann deine Flächenformel.

$\begin{eqnarray*} A=4*(b\int_{0}^{x_S}~\sqrt{1-(\frac{x}{a} )^2}~dx + r\int_{x_S}^{r}~\sqrt{r^2-x^2}~dx ) \end{eqnarray*}$

integrieren
$\begin{eqnarray*} 4*(b*[\frac{(a^2*sin^{-1}(\frac{x}{a})+x*\sqrt{a^2-x^2})}{2a}]_{0}^{x_S}+ [\frac{1}{2}(*\sqrt{r^2-x^2}*x +sin^{-1}(\frac{x}{r})*r^2 ) ]_{x_S}^{r}) \end{eqnarray*}$

einsetzen der bekanten Variablen
$\begin{eqnarray*} 4*(20*\frac{(40^2*sin^{-1}(\frac{20\sqrt{\frac{5}{3} }}{40})+20\sqrt{\frac{5}{3} }*\sqrt{40^2-(20\sqrt{\frac{5}{3} })^2})}{2*40})+ [\frac{1}{2}*(\sqrt{30^2-30^2}*30 +sin^{-1}(\frac{30}{30})*30^2 ) -\frac{1}{2}(*\sqrt{30^2-(20\sqrt{\frac{5}{3} })^2}*20\sqrt{\frac{5}{3} } +sin^{-1}(\frac{20\sqrt{\frac{5}{3} }}{30})*30^2 ) ] \end{eqnarray*}$

vereinfachen/umformen
$\begin{eqnarray*} 4*(20*\frac{5*(12*sin^{-1}(\frac{\sqrt{15}}{6} )+\sqrt{35} )}{3}+[225\pi -\frac{50*(27*sin^{-1}(\frac{2*\sqrt{15}}{9} )+2*\sqrt{35}}{3} ]) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -100*(18*sin^{-1}(\frac{2*\sqrt{15}}{9})-16*sin^{-1} \frac{\sqrt{15}}{6}-9\pi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{approximiert}= 2084.29 FE \end{eqnarray*}$

hoffe es stimmt alles!

Gruss, tt

28.12.2008, 19:36

riwe

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ja damit hast du beide male dasselbe integral zu lösen.

wenn wir uns nicht beide verrechnet haben, sollte das ergebnis stimmen, s.o. Freude

Freude

29.12.2008, 11:07

tim taler

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danke dir!

Gruss, tt

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