Ableiten

26.12.2008, 20:25

Gast12345

Ableiten

Hallo,
hab ein Problem bei der Differenzierbarkeit im Mehrdimensionalen.
Warum ist der Definitionsbereich eine Funktion immer eine offene Menge?
Warum kann sie nicht auch abgeschlossen sein?
Dank im vorraus
p.s. Gibt es auch Mengen die weder abgeschlossen (relativ abgeschlossen) bzw offen (relativ offen) sind?

27.12.2008, 15:28

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Warum ist der Definitionsbereich eine Funktion immer eine offene Menge?

Es wäre hilfreich, deine Definition der Differentiation zu sehen.

Edit:

Da der Defintionsbereich $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine offene Menge "aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ " ist, so gehört mit jedem ihrer Elemente $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} x_0+h \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ,

wenn nur $\begin{eqnarray*} h\in U_{\epsilon(x_0)}(0), \epsilon(x_0)>0. \end{eqnarray*}$

Damit ist der Differenzenquotient

$\begin{eqnarray*} \varphi(f;h,x_0):=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} h\in U_{\epsilon(x_0)}(0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0\in X \end{eqnarray*}$ definiert.

Gruß

27.12.2008, 16:16

Gast12345

Auf diesen Beitrag antworten »

vielen dank
das hat mir sehr geholfen

28.12.2008, 02:08

Gast12345

Auf diesen Beitrag antworten »

hallo
nach längerem überlegen hab ich doch noch ein paar fargen

also wenn ich deine Erklärung richtig verstehe bedeutet das wenn ich eine abgeschlossene Menge habe das ich mich nicht jedem Punkt aus jeder Richtung nähern kann

im Eindimensionalen hatten wir gesagt das der Definitionsbereich nur keine isolierten Punkte haben darf (also keine Punkt so dass es eine epsilon-Umgebung um den Punkt gibt die keinen Punkt mehr aus der Menge enthält)
da gehören die Randpunkte auf einem abgeschlossenem Intervall für mich nicht dazu. Aber denen kann ich mich auch nur von einer Seite nähern.

oder wenn ich eine Funktion habe die auf (a,b) definiert ist
die ich dann nach b steig fortsetze die dann also auf (a,b] definert ist dort habe ich mich ja auch nicht von links angenähert

betrachten wir also mal den abgeschlossenen Einheitskreis im 2-dim als Definitionsmenge
wenn ich da einen Randpunkt habe kann ich mich ja nicht von "außen" annähern
aber in wie weit behindert das die definition der Differenzierbarkeit
im 1-dimensionalen tut es das ja auch nicht.

ich bitte um "Erleuchtung" und schonmal vielen dank für eure Hilfe

28.12.2008, 11:52

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Wie gesagt, es kommt darauf an, wie man die Differentiation definiert.

Das Wichtige dabei ist, dass wir überhaupt eine Folge " $\begin{eqnarray*} \xi_n\in X\backslash{x_0} \end{eqnarray*}$ " finden mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\xi_n =x_0 \end{eqnarray*}$ , d.h. das $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ein Häufungspunkt von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist, das ist zum Beispiel stets der Fall, wenn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ein Intervall mit mehr als zwei Punkten ist.

In der Definition von oben, wird offen benötigt, sodass der Ausdruck definiert ist.

In deiner Definition im Eindimensionalen ist dafür gesorgt, indem man das Komplement der Häufungspunkten auschließt.

Dein Beipsiel, der abgeschlossenen Einheitskreis im Zweidimensionalen, ist ebenfalls gültig, da du dich über die Randpunkte nähern kannst.

Natürlich muss jede dieser Folgen zum gleichen Ergebnis führen.

28.12.2008, 13:46

Gast12345

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
so ganz ahbe ich das noch nicht kapiert

also ist es egal wie ich mich dem Punkt annähere es muss nur generell möglich sein?

Hier mal die Definitionen.

Differenzierbarkeit im Eindimensionalen

D ist Menge ohne isolierte Punkte.
f : D-->K
Die Funktion f heißt differenzierbar in a € D, wenn der Grenzwert

$\begin{eqnarray*} f'(a)=\lim_{x \to a}~{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}} \end{eqnarray*}$

in K existiert

Differenzierbarkeit im Mehrdimensionalen

D ist offene Menge

f heist differnzierbar in a falls es A un r gibt

$\begin{eqnarray*} f(x)=f(a)+A(x-a)+r(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a}~{\frac{r(x)}{||x-a||}}=0 \end{eqnarray*}$

28.12.2008, 15:50

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe in meinem letzten und vorletzen Posting eine Kleinigkeit vergessen und habe es in Anführungszeichen hinzugefügt.

Zitat:

also ist es egal wie ich mich dem Punkt annähere es muss nur generell möglich sein?

Ja, unter der oben genannten Bedingung.

Ausgeschlossen werden hierbei die konstanten Folgen.

Wenn ich mich nun an deiner Defintion orientiere, finde ich für jedes Element aus dem Definitionsbereich eine solche Folge, da alle Elemente Häufungspunkte sind.

In dieser Definition muss man nicht explizit verlangen, dass der Definitionsbereich offen ist, da man mit $\begin{eqnarray*} x\to a \end{eqnarray*}$ eben nur solche Folgen gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ betrachtet, die sowieso existieren und das solche existieren, liegt an der Sache mit den Häufungspunkten.

Bei der Defintion aus meinem ersten Posting zu diesem Thema muss verlangt werden, dass der Defiintionsbereich eine offene Menge aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist.
(Ich bin mir gerade nicht sicher, ob man das auf vollständige Räume verallgemeinern kann, denn mit jeder Umgebung in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ liegt auch ein von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ verschiedenes Element darin.
Ob das allgemein bei vollständigen Räumen gilt, hab ich mir gerade nicht überlegt)

Denn mit der Forderung $\begin{eqnarray*} h\to 0 \end{eqnarray*}$ legt man implizit eine Umgebung um $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ .

28.12.2008, 17:14

Gast12345

Auf diesen Beitrag antworten »

hi,
ok wenn man die Bedingung, dass die Menge offen ist, nicht stellen muss.
Wozu macht man es dann doch?

Hat das vieleicht was mit der Berechnung nachher zu tun...
...also wenn ich die Partiellen Ableitungen berechne?

und wenn ich jetzt sage meine Funktion im Eindimensionalen ist auf [a,b] definiert
ich betachte sie aber nur auf einem intervall [c,d] mit a<c<d<b
und d ist ein Punkt wo der rechtseitige Grenzwert ungleich dem linksseitigen ist

ist die Einschränkung der Funktion auf [c,d] dann trozdem in d diffbar?

28.12.2008, 20:45

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

In den letzten vier Zeilen meines vorangegangenen Post habe ich geschrieben,
das es sehr wohl darauf ankommt, zu verlangen, dass es sich um eine offene Menge handelt,
nur ist das für den Raum in dem man sich befindet, $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , die kürzeste Formulierung.

Die Defintionsmenge soll aus Häufungspunkten bestehen und um jeden Punkt muss man eine Umgebung legen können, die ebenfalls zur Definitionsmenge gehört.
Kurz: offene Menge aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

In welchem Raum befindest du dich bei deiner Definition - Differenzierbarkeit im Mehrdimensionalen.

Zitat:

und wenn ich jetzt sage meine Funktion im Eindimensionalen ist auf [a,b] definiert
ich betachte sie aber nur auf einem intervall [c,d] mit a<c<d<b
und d ist ein Punkt wo der rechtseitige Grenzwert ungleich dem linksseitigen ist

ist die Einschränkung der Funktion auf [c,d] dann trozdem in d diffbar?

Ich würde sagen, ja, denn ich schließe die Betrachtung von links her kommend aus.

28.12.2008, 20:53

Gast12345

Auf diesen Beitrag antworten »

danke du hast mir wirklich weitergeholfen

Neue Frage »

Antworten »

Ableiten

Verwandte Themen