Ableitung einer Funktion bilden

26.12.2008, 20:45

Felix.K

Ableitung einer Funktion bilden

N'Abend

Ich habe heute begonnen, mein Wissen über die Differentiation etwas auf zu frischen. Ein paar ganz leichte Ableitungen hab ich nun hinter mir, steh aber nun vor dem ersten Problem.

Um folgende Funktion handelt es sich (1. Ableitung soll gebildet werden):

$\begin{eqnarray*} y = (5x - 2)\sqrt{\frac{x+1}{x-1}} \end{eqnarray*}$

Ist es richtig, dass ich hier erstmal die Produktregel anwenden muss?
-> $\begin{eqnarray*} (5x - 2)' * \sqrt{\frac{x+1}{x-1}} + (5x - 2) * \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}' \end{eqnarray*}$

das wäre ja dann erstmal $\begin{eqnarray*} 5*\sqrt{\frac{x+1}{x-1}} + (5x - 2)*...... \end{eqnarray*}$
und genau hier steh ich an, vorausgesetzt es ist bis hier hin überhaupt richtig:
Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{x+1}{x-1}} \end{eqnarray*}$

Findet bei dieser Ableitung die Quotientenregel unter der Wurzel Anwendung und danach noch eine äußere Ableitung? Sprich, muss ich zuerst denn Bruch unter Wurzel ableiten und danach auch noch die Wurzel selber?
-> $\begin{eqnarray*} 1/2 * ((\frac{x+1}{x-1})')^-1/2 \end{eqnarray*}$ ??

Vielen Dank schonmal!
-F

26.12.2008, 20:57

TyrO

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RE: Ableitung einer Funktion bilden

Zitat:

Original von Felix.K

Findet bei dieser Ableitung die Quotientenregel unter der Wurzel Anwendung und danach noch eine äußere Ableitung? Sprich, muss ich zuerst denn Bruch unter Wurzel ableiten und danach auch noch die Wurzel selber?
-> $\begin{eqnarray*} 1/2 * ((\frac{x+1}{x-1})')^-1/2 \end{eqnarray*}$ ??

Vielen Dank schonmal!
-F

Kettenregel ist das Stichwort.

$\begin{eqnarray*} f'(x) = (\frac{1}{2})*(\frac{x+1}{x-1})^{-\frac{1}{2}} *(\frac{x+1}{x-1})' \end{eqnarray*}$

26.12.2008, 21:04

Felix.K

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Danke! Findet die Produktregel dann trotzdem noch Anwendung oder wird (x - 5) abgeleitet und dann nur für den Term unter der Wurzel die Kettenregel benutzt?

26.12.2008, 21:09

TyrO

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RE: Ableitung einer Funktion bilden

Zitat:

Original von Felix.K
Danke! Findet die Produktregel dann trotzdem noch Anwendung oder wird (x - 5) abgeleitet und dann nur für den Term unter der Wurzel die Kettenregel benutzt?

Woher stammt die (x-5) ?

Zitat:

Original von Felix.K
-> $\begin{eqnarray*} (5x - 2)' * \sqrt{\frac{x+1}{x-1}} + (5x - 2)* ... \end{eqnarray*}$

Du fügst jetzt die Ableitung der Wurzel einfach an die Stelle der Pünktchen ein.

26.12.2008, 21:11

Felix.K

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Hoppla, sollte natürlich (5x - 2) heißen! Freude

26.12.2008, 21:18

TyrO

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Dann veröffentliche nun deine Ergebnisse Augenzwinkern

26.12.2008, 21:22

Felix.K

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Würde ich, wenn ich auch nur halbwegs auf das vorgegebene Ergebnis kommen würde smile

... uno momento

26.12.2008, 21:37

Felix.K

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so, mal Schritt für Schritt:

Produktregel:
$\begin{eqnarray*} (5x - 2)' * \sqrt{\frac{x+1}{x-1}} + (5x - 2) * \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}' \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} 5 * \sqrt{\frac{x+1}{x-1}} + (5x - 2) * \frac{1}{2} * \frac {1}{\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}} * \frac{-2}{x^2 - 2x + 1} \end{eqnarray*}$

Kannst du das bis hierhin bestätigen? verwirrt

26.12.2008, 21:40

TyrO

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Das sieht gut aus. Aber multiplizier beim letzten Bruch den Nenner nicht aus. Dann könntest du vlt. eine Vereinfachung durch Kürzen übersehen.

Gut, und nun kannst du schön mal weiter zusammenfassen, z.B. durch einen Hauptnenner smile

26.12.2008, 22:04

Felix.K

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$\begin{eqnarray*} 5 * \sqrt{\frac{x+1}{x-1}} + \frac {(5x -2)}{2*\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}} * \frac{-2}{(x-1)^2} \end{eqnarray*}$

-->

$\begin{eqnarray*} 5 * \sqrt{\frac{x+1}{x-1}} + \frac {(-5x + 2)}{\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}*(x-1)^2} \end{eqnarray*}$

...weiter komm ich leider nicht.

26.12.2008, 22:18

Felix.K

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Das könnt ich auch noch anbieten, aber ob's weiterhilft..?

$\begin{eqnarray*} \frac{5*\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}} + \frac {-(5x + 2)*\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}*(x-1)^2} \end{eqnarray*}$

27.12.2008, 17:43

TyrO

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$\begin{eqnarray*} 5 * \sqrt{\frac{x+1}{x-1}} + \frac {(-5x + 2)}{\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}*(x-1)^2}= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{5*\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}*{\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}*(x-1)^2}+(-5x + 2)}{{\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}*(x-1)^2}}= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{5*\frac{x+1}{x-1}(x-1)²-5x+2}{{\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}*(x-1)^2}} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{5*(x²-1)-5x+2}{{\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}*(x-1)^2}}= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{5x²-5-5x+2}{{\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}*(x-1)^2}}= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{5x²-5x-3}{{\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}*(x-1)^2}} \end{eqnarray*}$

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