Probleme beim Verstehen von Häufungspunkten |
| 27.12.2008, 10:14 | SuICIde13 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
| Probleme beim Verstehen von Häufungspunkten ich hab ein Problem beim Verstehen von Häufungspunkten, ich habe versucht die Definition zu verstehen, aber da ist noch vieles im Unklaren und weil ich meine, dass ich die Definitionen in der Topologie brauche, um die Stetigkeit zu verstehen, wo die Begriffe D und D' auch auftauchen, will ich diese unbedingt begreifen. Ich habe auch schon gestern 2 Stunden versucht im Internet in diversen Foren und Seiten etwas darüber herauszufinden, aber es hat nichts gebracht 
. Ich fang mal an: Erstens: Gegeben ist das Intervall D= (0,1) (Teilmenge von R), welches offen ist mit D' (=Menge aller Häufungspunkte)=[0,1], D= [0, unendlich) (Teilmenge von R) ist abgeschlossen. Frage: Diese Schreibweise [0,1], bedeutet sie, dass die Menge der Häufungspunkte im Intervall 0 bis 1 liegen, eingeschlossen der 0 und der 1? Das müsste eigentlich ja das bedeuten, allerdings habe ich gestern oft gelesen, dass auch davon gesprochen wird, dass nur 0 und 1 Häufungspunkte sind, das hat mich stark verwirrt? Ein Häufungspunkt ist doch, wenn in seiner Nähe unabzählbar viele Punkte liegen, die aber nicht unbedingt in der Ausgangsmenge liegen müssen, habe ich das richtig verstanden? Aber im Intervall D= (0,1) liegt doch die 0 nicht mehr drinnen? Wieso kann die 0 dann Häufungspunkt sein, wie kann ich mir das vorstellen? Und die Punkte, die in der Nähe der 0 liegen, wären das beispielsweise -0,01 ; -0,0001, +0,001 usw.. wobei -0,01 und -0,0001 nicht in der Menge liegen und +0,001 schon? Es tut mir leid, dass ich soviele Fragen habe, aber irgendwie komme ich an diesem Punkt nicht weiter, ich habe diverse Mathe Bücher und versucht in diesen Beispiele zu finden, aber die haben mir auch nicht geholfen, ich tue mich sehr schwer in dem Nachvollziehen von Begriffen, die etwas abstrakter sind 
. Wäre sehr nett wenn ihr mir helft! mfg sui |
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| 27.12.2008, 10:45 | axelt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Es gibt zweierlei: den Häufungspunkt einer Folge und den Häufungspunkt einer Menge. Wir haben eigentlich meist den einer Folge gemeint, dazu ein Beispiel: Häuffungspunkt bedeutet quasi dass es in jeder Epsilon-Umgebung des Punktes beliebig oder 'unendlich' viele Punkte gibt. Für das Beispiel oben ist das offensichtlich. Noch ein Bsp: hat wieder die Häuffungspunkte 1 und 0 (0 halt wegen der Definition für konvergente Folgen, dass ab einem bestimmten n alle Werte näher als Epsilon am Grenzwert liegen). |
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| 27.12.2008, 10:52 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Hallo, Zuerst sollten vielleicht die Definitionen geklärt werden. Also ich kenne die folgenden: Eine reelle Zahl a heißt genau dann Häufungspunkt von M, wenn in jeder Epsilon-Umgebung von a mindestens ein Element von M liegt, das nicht mit a identisch ist. Formal: Die Forderung, dass in jeder Umgebung überabzählbar (nicht „unabzählbar“!) viele Elemente von M liegen sollen, habe ich beim Häufungspunkt noch nie gelesen -- das kenne ich vom „Kondensationspunkt“. Also ich setze jetzt die obigen Definitionen voraus, weil die üblich zu sein scheinen und Du Dir bei Deinen Definitionen nicht sicher bist.
Richtig, wobei die Formulierung etwas merkwürdig ist -- die Menge aller Häufungspunkte von D ist das Intervall [0; 1], also die Menge aller reellen Zahlen zwischen einschließlich 0 und einschließlich 1.
Die 0 gehört nicht zur Ausgangsmenge D, aber sie kann trotzdem ein Häufungspunkt von D sein. Denn es wird ja nur Folgendes gefordert: In jeder Epsilon-Umgebung der 0 muss mindestens ein von 0 verschiedenes Element von D liegen. Und das ist ja der Fall: Es ist egal, wie klein Du den Radius Epsilon wählst, die Umgebung schneidet D in jedem Fall: (ich schreibe kurz D* anstelle von D\{0}) u. s. w. @ axelt: Häufungs-Werte einer Folge sind nicht das Thema! |
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| 27.12.2008, 14:17 | SuICIde13 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Vielen Dank für die Beantwortung erstmal! @ axelt: Dass was du schreibst ist richtig, aber bei mir geht es mehr um die Häufungspunkte bei Mengen, bei Folgen hab ich es einigermaßen verstanden, zumindest besser als bei Mengen! @Jacques: Wow, vielen Dank für deine umfassende Antwort! Haste echt super erklärt, diese Art der Definition lese ich zum ersten Mal, aber sie klingt viel besser als die anderen, die ich vor mir habe. Ich versuch diese Definition nochmal kurz mit eigenen Worten wiederzugeben, um zu schauen, ob ich es verstanden habe: Ein Häufungspunkt von der Menge M (Menge von einem Intervall = alle Punkte, die im angegebenen Intervall liegen?) bedeutet, dass man um einen Punkt a eine Epsilon Umgebung legen kann, die noch so klein ist und dass in dieser Umgebung mindestens ein Element von M liegt, dass nicht gleich a ist, dass heißt ungleich a. Das wiederum bedeutet, dass im Intervall (0,1) jeder Punkt in dem Intervall ein Häufungspunkt ist, beispielsweise suche ich mir den Punkt a= 0,5 aus, lege um ihm die Epsilon Umgebung und sehe, dass ich mind. 1 Punkt sagen wir mal 0,51 habe, der ungleich a ist und in der Menge liegt(0,51 ist ja in dem Intervall, also in der Menge drin). Dass heißt im Intervall sind unendlich viele Häufungspunkte! Obwohl 0 und 1 nicht im Intervall eingeschlossen sind, sind sie Häufungspunkte, da wenn man sich beispielsweise 0 aussucht und die Epsilonumgebung bildet, man mind. 1 Element aus M erreicht, welches nicht gleich 0 ist, beispielsweise 0,1. Das Gleiche gilt für die 1! (Ich glaube dass mit der 0 =Häufungspunkt hast du versucht mir zu verdeutlichen, indem du die Definition daran angewendet hast und dir einmal eine Epsilon-Umgebung mit den Radien von 0,5 ; 0,1 und 0,001 herausgesucht hast und den Durchschnitt mit D(ohne der 0) gebildet hast oder? Dabei frage ich mich, wie du erstens auf die Werte 0,25; 0,125 usw. gekommen bist und was mit der Schreibweise "Umgebung Epsilon 0,5 DURCHSCHNITT D(ohne 0)" genau gemeint ist!) Habe ich das so richtig verstanden? sui |
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| 27.12.2008, 15:10 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Exakt. 
Wobei die Ausgangsmenge M kein Intervall zu sein braucht, Du kannst jede beliebige Teilmenge von R betrachten. Der Name „Häufungspunkt“ ist nicht zufällig gewählt worden: Wenn man sich den Sachverhalt bildlich auf der Zahlengeraden vorstellt, dann ist ein Häufungspunkt a tatsächlich eine Zahl, bei der sich die Elemente von M „häufen“; h ist beispielweise an ein Intervall von M angeschlossen -- sofern M Intervalle enthält --, oder die Elemente von M verdichten sich zu a hin. Ein Beispiel für Letzteres ist der Häufungspunkt 0 bei der Menge {1/n | n Element N*}. Noch ein paar Bilder: (der orangefarbene Punkt ist diejenige Zahl, die man untersucht, die blauen Punkte sind Elemente von M) [attach]9436[/attach] [attach]9437[/attach] [attach]9438[/attach]
Eine Epsilon-Umgebung hat natürlich immer einen Radius. Du lässt den Radius beliebig weit schrumpfen und musst immer noch ein von a verschiedenes Element von (0, 1) angeben können, das in der Umgebung liegt. Ansonsten hast Du Recht: Jedes Element von (0, 1) ist Häufungspunkt der Menge.
Ja, wobei Du natürlich auch hier wieder den Radius der Epsilon-Umgebung sagen muss. Wenn z. B. Epsilon = 1, dann ist Dein Beispiel 0,1 korrekt.
Ganz genau.
Das sind einfach willkürlich ausgewählte Zahlen, die in dem Durchschnitt von Epsilon-Umgebung und D* liegen.
Hm, was ist Dir unklar? Eigentlich hast Du oben doch schon alles richtig erklärt. |
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| 27.12.2008, 18:55 | SuICIde13 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
... Ich hasse mich, habe grade eine lange Antwort hier geschrieben und hab das alles aus Versehen gelöscht :P. Also nochmal. Jacques, super dass ich alles anscheinend verstanden habe, dank dir natürlich! Ich habe gestern echt lange dran geknabbert, aber es echt nicht gerafft, war sehr frustiert zwischenzeitlich. Dank deiner Definition habe ich das binnen 2 Minuten gerafft, war echt super!
Dabei hatte ich ein Problem mit der Formulierung "DURCHSCHNITT D(ohne 0)", aber ich hab jetzt verstanden, dass du nur die Definition angewendet hast und das mit den Beispielen gezeigt hast, muss ich mich nur daran gewöhnen 
. So vielen Dank nochmal Jacques, wenn ich noch weitere Fragen habe, schreibe ich sie hierrein oder eröffne einen neuen Topic ok? schönes Wochenende noch! mfg sui |
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