Cauchy Folge im metrischen Raum

28.12.2008, 09:35

Webermann

Cauchy Folge im metrischen Raum

Hallo alle miteinander.

Ich habe hier folgendes im Skript stehen:
Versieht man eine nichtleere Menge T mit zwei Metriken derart, dass (T, d_1) deselben konvergenten Folgen wie (T, d_2) besitzt, so brauchen diese Metriken nicht dieselben Cauchyfolgen zu besitzen.
Ein Beispiel ist IR mit den Metriken
d_1 (s,t) = |s-t|
d_2(s,t) = |actan s - arctan t|

Hier ist die Folge (n) der natürlichen Zahlen eine d_2 Cauchyfolge.

1) [[Das sehe ich schon einmal nicht, wie muss ich das nachrechnen? Auch bezüglich der Metrik d_1 hätte ich Probleme, ... Was eine Cauchyfolge in IR ist, weiß ich wohl, aber bezüglich einer Metrik kann ich mir da nichts vorstellen]]

Dieses Gegenbeispiel wird dadurch ermöglicht, dass die identische Abbildung von (T,d_2) nach (T,d_1) zwar stetig ist, aber nicht gleichmäßig stetig ist.

2) [[Die Folge (n) der natürlichen Zahlen ist also keine d_1 Cauchyfolge?]]

Danke schon mal für eure Zeit

29.12.2008, 11:09

Soz.Päd.

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Guten Tag,

Es sei auf einer nichtleeren Menge M eine Metrik "d" definiert, d.h. (laut der Definition, wie ich sie kenne): "d" ordnet zwei beliebigen Elementen s,t e M eine reelle Zahl zu, wobei "d" den metrischen Axiomen genügt.

Eine weitere Definition, die ich kenne, sagt nun:
Eine Folge a(n) in M ist genau dann eine Cauchy-Folge bezüglich der Metrik d, wenn es zu jedem e > 0 ein m e N gibt, so dass für alle k >= m gilt:
d(a(k), a(m)) < e.

Nehmen wir nun
d(s,t) = |actan s - arctan t|.
(Anmerkung: Im Grunde müsste man hier eine Einschränkung machen, damit arctan eindeutig als Funktion definiert ist, denn es ist beispielsweise:
tan(pi/4) = tan (1,25 * pi) = 1 also gäbe es zu "arctan(1)" zwei "Werte".)

Mit der Einschränkung, arctan also Funktion zu verstehen, ist:
l im (n gegen unendlich) |arctan(n)| = pi/4.
Also gibt es zur Folge a(n) = n (n e N) ein m e N, so dass für alle k >= m gilt:
d(a(k), a(m)) = |actan ( a(k) ) - arctan ( a(m) )| = |actan (k) - arctan (m)| < e.

Also ist die Folge eine Cauchy-Folge in M bezüglich d.

Man verifiziere, dass dies für die andere Metrik d nicht so ist.

Gruß
Soz.Päd.

30.12.2008, 10:03

Webermann

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Hallo an alle,
Hallo Soz.Päd. Ich finds super, dass du geantwortet hast, obwohl du nicht einmal einen Account, echt großes Danke dafür.

Zitat:

Original von Soz.Päd.
Es sei auf einer nichtleeren Menge M eine Metrik "d" definiert, d.h. (laut der Definition, wie ich sie kenne): "d" ordnet zwei beliebigen Elementen s,t e M eine reelle Zahl zu, wobei "d" den metrischen Axiomen genügt.

Eine weitere Definition, die ich kenne, sagt nun:
Eine Folge a(n) in M ist genau dann eine Cauchy-Folge bezüglich der Metrik d, wenn es zu jedem e > 0 ein m e N gibt, so dass für alle k >= m gilt:
d(a(k), a(m)) < e.

Genau dieselben Definitionen kenne ich auch

Zitat:

Original von Soz.Päd.
Nehmen wir nun
d(s,t) = |actan s - arctan t|.
(Anmerkung: Im Grunde müsste man hier eine Einschränkung machen, damit arctan eindeutig als Funktion definiert ist, denn es ist beispielsweise:
tan(pi/4) = tan (1,25 * pi) = 1 also gäbe es zu "arctan(1)" zwei "Werte".)

Ich nehme das mal so hin.

Zitat:

Original von Soz.Päd.
Mit der Einschränkung, arctan also Funktion zu verstehen, ist:
l im (n gegen unendlich) |arctan(n)| = pi/4.

Analog zur Metrik d_1 (s,t) = |s-t| wäre es ja

$\begin{eqnarray*} lim_{n \to \infty} |n| = \infty \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Soz.Päd.
Also gibt es zur Folge a(n) = n (n e N) ein m e N, so dass für alle k >= m gilt:
d(a(k), a(m)) = |actan ( a(k) ) - arctan ( a(m) )| = |actan (k) - arctan (m)| < e.

Genau das verwirrt mich bei Cauchyfolgen immer.
Wenn ich davon ausgehe, dass eine Cauchy-Folge vorliegt, müsste ich bei meiner Metrik ja analog schreiben

Also gibt es zur Folge $\begin{eqnarray*} a(n) = n \ ; \ n, m \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , so dass für alle k >= m gilt:
d(a(k), a(m)) = | a(k) - a(m) | = |k-m| < e.

Das sollte ja nicht so sein, aber warum? Der wesentliche Unterschied (für mich) liegt darin, dass der arctan für n gegen unendlich gegen pi/4 konvergiert, die Gerade x für n gegen unendlich aber divergiert.

Ich kann also leider noch nicht nachvollziehen, warum hier keine Cauchyfolge vorliegen soll.

Kann noch mal wer nachhelfen?

Danke von
Webermann

30.12.2008, 10:42

Romaxx

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Zitat:

Original von Webermann

Genau das verwirrt mich bei Cauchyfolgen immer.
Wenn ich davon ausgehe, dass eine Cauchy-Folge vorliegt, müsste ich bei meiner Metrik ja analog schreiben

Also gibt es zur Folge $\begin{eqnarray*} a(n) = n \ ; \ n, m \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , so dass für alle k >= m gilt:
d(a(k), a(m)) = | a(k) - a(m) | = |k-m| < e.

Das sollte ja nicht so sein, aber warum? Der wesentliche Unterschied (für mich) liegt darin, dass der arctan für n gegen unendlich gegen pi/4 konvergiert, die Gerade x für n gegen unendlich aber divergiert.

Ich kann also leider noch nicht nachvollziehen, warum hier keine Cauchyfolge vorliegen soll.

Kann noch mal wer nachhelfen?

Danke von
Webermann

Nun, was funktioniert denn bei $\begin{eqnarray*} d_1 \end{eqnarray*}$ nicht mehr so schön?

Betrachte doch mal den Fall $\begin{eqnarray*} \epsilon =\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ . Das ist erlaubt, denn die Definition besagt, es muss für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ gelten.

Unter der Metrik $\begin{eqnarray*} d_1 \end{eqnarray*}$ ziehen wir stets natürliche Zahlen voneinander ab.

Wir suchen uns mal ein Index $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ , von dem wir glauben, ab diesem funktioniert es.

Dann sollte doch gelten:

$\begin{eqnarray*} |n-m|<\epsilon=\frac{1}{2}\quad,\quad n, m\geq N \end{eqnarray*}$

Wähle ich aber $\begin{eqnarray*} n>m\geq N \end{eqnarray*}$ , was ich definitiv darf, da ich mit beiden über $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ bin, merke ich etwas.

Die Metrik liefert mir stets Werte größergleich $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

Und das gilt für alle Indizes $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ , die ich vermeintlich als Kandidat gewählt habe.

Also existiert nicht so ein $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ .

Damit ist $\begin{eqnarray*} (n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} d_1 \end{eqnarray*}$ nicht Cauchy.

Versuche die Definition einer Cauchyfolge nocheinmal genau zu verstehen.

30.12.2008, 18:45

Webermann

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Danke Romaxx,
jetzt habe ich es endlich kapiert, danke

31.12.2008, 00:31

Soz.Päd.

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Guten Tag,

Entschuldigung, eine kleie Nachlässigkeit ist mir passiert, denn es ist:
lim (n gegen unendlich) |arctan(n)| = pi/2 (nicht pi/4 !).

Gruß
Soz.Päd.

31.12.2008, 10:42

Webermann

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Hallo Soz.Päd.
Danke für die Korrektur (den Fehler finde ich aber überhaupt nicht schlimm, mir ging es ja auch nur um das Prinzip der Cauchyfolge)
Also, danke smile

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