Vorzeichenwechsel in Münzwurfspiel

28.12.2008, 16:58	Matthias23	Auf diesen Beitrag antworten »
Vorzeichenwechsel in Münzwurfspiel Hallo allerseits, ich bin gerade dabei, einen Vortrag auszuarbeiten, den ich demnächst halten muss, und habe ein Problem. Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte! Es handelt sich um zufällige Irrfahrten, also z.B. ein Münzwurfspiel, der Länge n. Ein Pfad kann charakterisiert werden durch das n-Tupel $\begin{eqnarray} $(\varepsilon_1,...,\varepsilon_n)$ \end{eqnarray}$ , wobei alle $\begin{eqnarray} $\varepsilon_i \in \{-1,1\}. \end{eqnarray}$ Außerdem ist $\begin{eqnarray} $s_n = \sum_{i=1}^n \varepsilon_i.$ \end{eqnarray}$ In einem Koordinatensystem, das die Zeitpunkte t auf der x-Achse und $\begin{eqnarray} $s_t$ \end{eqnarray}$ auf der y-Achse darstellt, lässt sich so eine zufällige Irrfahrt gut grafisch darstellen. Ich muss jetzt anhand eines Textes von Feller das Thema "Vorzeichenwechsel" untersuchen. Die Hauptaussage des Abschnittes ist folgender Satz: Die Wsk. dafür, dass ein Pfad der Länge 2n+1 genau r VZ-Wechsel besitzt, beträgt $\begin{eqnarray} $2p_{2n+1,2r+1}$ \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} $p_{2n+1,2r+1}$ \end{eqnarray}$ die Wsk. beschreibt, dass ein Pfad im Zeitpunkt 2n+1 den Wert 2r+1 annimmt, also dass $\begin{eqnarray} $s_{2n+1} = 2r+1$ \end{eqnarray}$ ist. Es wurde bereits gezeit, dass $\begin{eqnarray} p_{n,r} = {n \choose \frac{n+r}{2}} \, 2^{-n}. \end{eqnarray}$ Soweit sogut, das hab ich alles verstanden. Womit ich Probleme habe, ist folgende Folgerung: Man soll annehmen, dass n groß ist und x eine feste positive Zahl. Die Wsk. dafür, dass vor dem Zeitpunkt n weniger als $\begin{eqnarray} $x\sqrt{n}$ \end{eqnarray}$ VZ-Wechsel passieren, soll dann "praktisch die gleiche sein wie" $\begin{eqnarray} 2P(s_{n} < 2x \sqrt{n}). \end{eqnarray}$ (Dies wird dann im Folgenden durch die Normalverteilung approximiert.) Ich komm einfach nicht darauf, wie der Autor auf $\begin{eqnarray} $2P(s_{n} < 2x \sqrt{n})$ \end{eqnarray}$ kommt. Um auf das Ergebnis zu kommen, müsste man doch eigentlich nur die Wahrscheinlichkeiten für r VZ-Wechsel aufsummieren von $\begin{eqnarray} r=0 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} r=x \sqrt{n}$ \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \sum_{i=0}^{x \sqrt{n}} 2p_{n,2i+1}. \end{eqnarray}$ Da komm ich dann auf $\begin{eqnarray} $2P(1 \leq s_n \leq 2x\sqrt{n})$ \end{eqnarray}$ und nicht weiter. Feller erwähnt diese Formel nur in einem Satz, ohne zu zeigen wie man darauf kommt, also kann der "Beweis" ja nicht wirklich kompliziert sein, aber ich komm einfach nicht drauf und hoffe, dass mir jemand helfen kann. Viele Grüße.
29.12.2008, 19:02	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Kernaussage von diesem ganze Vortrag ist doch sicherlich das Arcussin-Gesetz! Deshalb bin ich jetzt etwas irritiert, dass du auf diese Textpassage, welche ich mir gerade selbst nochmal angeguckt habe soviel Wert legst. Das gehört ja nicht einmal zum Fließtext! Gruß
29.12.2008, 20:23	Matthias23	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, das arcsin-Gesetz ist zwar vlt. die Hauptaussage des Feller-Textes, aber nicht meines Vortrags. Mein Vortrag beschränkt sich auf das Thema VZ-Wechsel, welches gerade einmal 2 Buchseiten ausmacht, worüber ich aber 90 Minuten referieren soll. Deswegen muss ich auch jedes kleinste Detail verstanden haben, da unser Prof. sonst immer nachhakt.

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