Potenzmenge

28.12.2008, 17:11

jester.

Potenzmenge

Hallo.

Ich habe hier folgende Aufgabe:

Zitat:

Es seien X und Y Mengen. Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} Pot(X) \cap Pot(Y) = Pot(X \cap Y) \end{eqnarray*}$ .

Ich habe mir überlegt, dass ich das folgendermaßen zeigen könnte:

$\begin{eqnarray*} Pot(X) \cap Pot(Y) = Pot(X \cap Y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leftrightarrow x \in Pot(X) \cap Pot(Y) \\ \wedge x \in Pot (X \cap Y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leftrightarrow x \in Pot(X) \\ \wedge x \in Pot(Y) \\ \wedge x \in Pot (X \cap Y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leftrightarrow x \subset X \\ \wedge x \subset Y \\ \wedge x \subset (X \cap Y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leftrightarrow x \subset X \\ \wedge x \subset Y \\ \wedge x \subset X \\ \wedge x \subset Y \end{eqnarray*}$

M.E. kann man an dieser Stelle erkennen, dass $\begin{eqnarray*} Pot(X) \cap Pot(Y) = Pot(X \cap Y) \end{eqnarray*}$ . Kann das jemand bestätigen oder auch nicht bestätigen? Ist die Art und Weise, wie ich das gezeigt habe, in Ordnung oder eher nicht so gut?

Hintergrund des Ganzen: Ich denke darüber nach, Mathe zu studieren und das hier ist eine Aufgabe der Erstsemester meiner Hochschule und ich wollte einfach mal sehen, ob ich mit deren Aufgaben sinnvoll umgehen kann, um eine Idee davon zu bekommen, ob ich für ein Mathestudium geeignet bin...

PS: Die Formatierung des Latex ist hier nicht so ganz geglückt... verwirrt

28.12.2008, 18:40

Jacques

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Hallo,

Abgesehen von der Formatierung: Du solltest immer dafür sorgen, dass man auch als Außenstehender den Beweis leicht nachvollziehen kann: Variablen müssen erklärt werden (was bezeichnet das x?), evtl. ist auch eine kurze Einleitung nicht schlecht, bei der Du den Beweisablauf erklärst.

Zum Beweis:

Zwei Mengen A und B sind genau identisch, wenn für alle Objekte x gilt

$\begin{eqnarray*} x \in A \ \Longleftrightarrow\ x \in B \end{eqnarray*}$

Hier ist bei Dir ein Fehler: Du schreibst UND anstelle von GENAU DANN, WENN -- das liegt daran, dass Du Dir vorher nicht klar gemacht hast, wofür das x überhaupt steht.

Aus diesem Grund ist Dein Beweis nicht korrekt, obwohl vieles stimmt. Normalerweise zeigt man die Mengengleichheit, indem man Folgendes nachweist: Für alle Objekte x gilt

(1)

$\begin{eqnarray*} x \in A \ \Rightarrow\ x \in B \end{eqnarray*}$

und

(2)

$\begin{eqnarray*} x \in B \ \Rightarrow \ x \in A \end{eqnarray*}$

(1)

Sei x ein beliebiges Objekt, das Element von $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}(X) \cap \mathcal{P}(Y) \end{eqnarray*}$ ist. Es gilt

$\begin{eqnarray*} x \in \mathcal{P}(X) \cap \mathcal{P}(Y) \ \Rightarrow x \in \mathcal{P}(X) \ \wedge \ x \in \mathcal{P}(Y)\ \Rightarrow\ x \subseteq X \ \wedge\ x \subseteq Y\ \Rightarrow\ \textrm{für alle } x^{\prime} \in x \textrm{ gilt }x^{\prime} \in X \ \wedge\ \textrm{für alle } x^{\prime} \in x \textrm{ gilt } x^{\prime} \in Y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\ \textrm{für alle } x^{\prime} \in x \textrm{ gilt }x^{\prime} \in X \end{eqnarray*}$

Weiter kommst Du selbst, oder? Der Teil (1) ist fast fertig, Du musst dann nur noch den Teil (2) zeigen -- natürlich lässt sich auch beides gleichzeitig machen, wenn man von vornherein nicht Implikationen, sondern Äquivalenzen nachweist. Aber ich persönlich finde es angenehmer, eins nach dem anderen zu zeigen, auch wenn man natürlich dann mehr Schreibarbeit hat.

30.12.2008, 09:41

jester.

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Hallo und danke erstmal. Dein Beitrag war schon mal sehr hilfreich.

Ich versuche einfach mal, deinen Teil 1 zu Ende zu bringen:

$\begin{eqnarray*} \text{aus}~x' \in X \wedge~x' \in Y~\text{folgt:} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x' \in X \cap Y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \subseteq X \cap Y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \in Pot(X \cap Y) \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass das jetzt so richtig ist...

02.01.2009, 16:00

Jacques

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Alles richtig. Freude

Vergiss aber das „für alle“ nicht: Du willst ja aussagen, dass für jedes Element aus x dieses und jenes gilt -- und nicht etwa nur für ein bestimmtes oder so.

Jetzt ist also

$\begin{eqnarray*} \mathcal{P}(X) \cap \mathcal{P}(Y) \subseteq \mathcal{P}(X \cap Y) \end{eqnarray*}$

bewiesen. Fehlt noch die umgekehrte Richtung, die aber nach dem gleichen Schema abläuft.

02.01.2009, 16:48

jester.

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Vielen Dank! Tanzen

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