sigma-algebra |
| 29.12.2008, 00:15 | 2Erik | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| sigma-algebra Habe ein Paar Fargen: 1. Warum wird in der Definition von Sigma-algebra verlangt das auch die Abzählbare Vereinigung von Mengen wieder in der Sigma-algebra enthalten ist? 2. Warum die leere Menge? 3. Bisher habe ich das so verstanden das man die sigma-Algebra braucht, weil man nicht jeder beliebigen Teilmengen des R^n ein "wohldefiniertes" Maß zuordnen kann. Wenn jetzt aber doch die Potenzmenge eine sigma-algebra ist, also auch die Potenzmenge des R^n in der ja alle Teilmengen des R^n enthalten sind. Kann cih doch jeder Teilmenge ein Maß zuordnen? bitte helft mir auf die Sprünge und schonmal danke |
||||
| 29.12.2008, 13:32 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zu 1./2. Man kann nicht "beweisen", warum in einer Definition dies und jenes gefordert bzw. aufgenommen wird. Man kann höchstens motivieren, warum das in dieser Weise sinnvoll ist - z.B. weil gewisse bekannte Beispiele sich dann in dieses Konzept einordnen lassen. Und um diskrete Maßräume sinnvoll behandeln zu können, nimmt man eben abzählbare Vereinigungen mit auf, da das Maß abzählbarer disjunkter Vereinigungen durch eine abzählbare Summe (=Reihe) sinnvoll definiert werden kann. Das ist dann auch gleich eine Begründung dafür, warum das auf überabzählbare Vereinigungen nicht in dieser Weise übertragen werden kann, da es überabzählbare Summen so nicht gibt. Zu 2. eine Gegenfrage: Warum sollte man die leere Menge weglassen? Bringt nur Ärger und aufwändige Ausnahmeregelungen, wenn man das tun würde.
Die Potenzmenge des ist eine Sigma-Algebra, ja. Und man kann auch jeder solchen Teimenge ein Maß zuordnen, z.B. einfach das Zählmaß . Aber das heißt NICHT, dass man etwa das Lebesgue-Borel-Maß auf diese Potenzmengen-Sigmaalgebra erweitern kann - das kann man eben nicht, wie der Beweis der Existenz einer Nicht-Borelmessbaren Menge zeigt! |
||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
