Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen

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Black_Eagle Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen
Hallo,

Ich muss folgende Aufgabenstellung lösen und bin mir da etwas unsicher ob das so stimmt.

Angabe:
Gegeben ist die folgende Matrix:
a) Man ermittle die Eigenwerte und die Eigenvektoren der Matrix A
b) Zur Matrix A bestimme man eine orthogonale Matrix Q so, dass eine Diagonalmatrix ist.



-----------------------------------------------------------------------------------

a)

(geraten)

Jetzt Polynomdivision oder?



Stimmt das so oder lieg ich falsch? Restlichen Nullstellen also Eigenwerte erhält man ja über die Polynomdivision nun. Bei den Eigenvektoren kann ich dann das Gauß'sche Eliminationsverfahren der Matrix A hier verwenden oder?

Weiter wollt ich noch nicht rechnen, da ich mir nicht sicher bin ob das so stimmt.

b) Hier muss ich die Eigenvektoren aus a) hernehmen und die Orthonomalbasis nach Gram-Schmidt berechen.

Könnt ihr mir weiterhelfen bzw. korrigieren wenn meine Version nicht stimmen sollte?

lg
Black Eagle
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen
Zitat:
Original von Black_Eagle
a)

Es fragt sich, wie du die Determinante bestimmt hast. Wenn du diese nach der 3. Zeile entwickelst, hättest du erhalten müssen. Und an dieser Darstellung kannst du eine Nullstelle direkt ablesen. ist jedenfalls keine Nullstelle. smile

Zitat:
Original von Black_Eagle
Bei den Eigenvektoren kann ich dann das Gauß'sche Eliminationsverfahren der Matrix A hier verwenden oder?

Nu ja, genau genommen brauchst du den Kern von . Augenzwinkern
Black_Eagle Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab die Determinante nach der Regel von Sarrus für 3x3 Matrizen bestimmt:


Regel Sarrus:





jetzt herausheben:


Produkt in Klammer entwickeln:


Faktor (-1) von 1. in 2. Faktor "transformieren":
=> 1. Nullstelle =>

Polynomdivision:

Stimmt das so?
Black_Eagle Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist da ein Vorzeichenfehler unterlaufen so sollts nun stimmen:

Produkt in Klammer entwickeln:


Faktor (-1) von 1. in 2. Faktor "transformieren":
=> 1. Nullstelle =>

Polynomdivision:
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll denn das mit der Polynomdivision? verwirrt

Bei brauchst du doch nur schauen, wann jede der beiden Klammern Null wird.
Black_Eagle Auf diesen Beitrag antworten »

sorry stimmt is ja ne quadratische gleichung.... wozu also polynomdividieren...
 
 
Black_Eagle Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen
Danke vorerst mal.









Eigenvektor zu





Zeilenstufenform:
=>

Wähle => => =>



Eigenvektor zu
Analog bekomm ich zum Eigenwert das heraus:


Eigenvektor zu
Analog bekomm ich zum Eigenwert das heraus:


Ist das richtig?
Bitte helft mir...

lg
Black_Eagle
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

In steckt ein Vorzeichenfehler.

Sonst stimmt der Rest.
Black_Eagle Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, danke!

Hab das Vorzeichen übersehen
So sollte es nun richtig sein:


zu Punkt b) noch um die orthogonale Matrix Q zu bestimmen
Ich hab das (hoffentlich richtig) so gemacht:


















Bei der Diagonalmatrix kommen die Eigenwerte raus, was ja richtig ist. Ich weiß allerdings nicht ob die Zwischenschritte auch richtig sind.

Hoffe ihr könnt das kurz durchchecken. Muss dieses Beispiel und noch eines (hab ich mir aber noch nicht angeschaut) nämlich bis nächste Woche abgeben.

lg
Black_Eagle
Black_Eagle Auf diesen Beitrag antworten »

da keiner mehr antwortet nehm ich an, dass alles stimmen wird. smile
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