de Moivre formeln

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29.12.2008, 11:13	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
de Moivre formeln Hallo will folgende beiden de Moivre Formeln geweisen, aber weiß nicht wie ich da am besten anfange bzw. wie ich das machen soll. Zeige: Für alle x $\begin{eqnarray} \in \mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} cos(nx)=\sum_{v=0}^\infty\begin{pmatrix}n\\v\end{pmatrix}(-1)^{v/2} sin^v(x)cos^{n-v}(x) \end{eqnarray}$ v gerade $\begin{eqnarray} sin(nx)=\sum_{v=0}^\infty\begin{pmatrix}n\\v\end{pmatrix}(-1)^{(v-1)/2} sin^v(x)cos^{n-v}(x) \end{eqnarray}$ v ungerade Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen?
29.12.2008, 11:49	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Summationsindex heißt nicht Lateinisch-v, sondern Griechisch-ny, in Latex: \nu. Wende in der Moivre-Formel $\begin{eqnarray} \cos (nx) + \operatorname{i} \sin (nx) = \left( \cos x + \operatorname{i} \sin x \right)^n \end{eqnarray}$ auf der rechten Seite den binomischen Lehrsatz an und vergleiche zu guter Letzt Real- und Imaginärteil.
29.12.2008, 12:05	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
der binomische lehrsatz lautet doch: $\begin{eqnarray} (1+x)^n=\sum_{\nu=0}^n {n \choose \nu}x^\nu \end{eqnarray}$ wie wende ich den denn hier an weil ich doch garkeine 1 habe?
29.12.2008, 12:14	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du scheinst da "Binomischer Lehrsatz" und "Binomische Reihe" durcheinander zu bringen. BINOMISCHER LEHRSATZ $\begin{eqnarray} (a+b)^n = \sum_{\nu=0}^n {n \choose {\nu}} a^{n - \nu} \, b^{\nu} \end{eqnarray}$ Diese Formel gilt in jedem kommutativen Ring - ohne jede Analysis!
29.12.2008, 12:26	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
dann würde das doch so heißen: $\begin{eqnarray} \cos (nx) + \operatorname{i} \sin (nx) = \sum_{\nu=0}^n {n \choose {\nu}} cos^{n - \nu}(x) \cdot \operatorname{i} sin^{\nu}(x) \end{eqnarray}$ wie soll ich jetzt Real- und Imaginärteil vergleichen? wie war das denn gemeint?
29.12.2008, 13:13	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Exponent $\begin{eqnarray} \nu \end{eqnarray}$ muß in der Summe auch zum Faktor $\begin{eqnarray} \operatorname{i} \end{eqnarray}$ ! Und jetzt beachte: $\begin{eqnarray} \operatorname{i}^0 = 1, \ \operatorname{i}^1 = \operatorname{i}, \ \operatorname{i}^2 = -1, \ \operatorname{i}^3 = -\operatorname{i}, \ \operatorname{i}^4 = 1, \ \operatorname{i}^5 = \operatorname{i}, \ \operatorname{i}^6 = -1, \ \ldots \end{eqnarray}$ Schau dir das doch einmal für ein nicht allzu großes $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ an. Vielleicht $\begin{eqnarray} n=6 \end{eqnarray}$ ?
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29.12.2008, 13:36	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
ok das habe ich gemacht. dabei fällt mir auf dass das i bei geraden $\begin{eqnarray} \nu \end{eqnarray}$ s, da es abwechselnd 1 und -1 ergibt! und ich habe ja diese formel: $\begin{eqnarray} \cos (nx) + \operatorname{i} \sin (nx) = \sum_{\nu=0}^n {n \choose {\nu}} cos^{n - \nu}(x) \cdot \operatorname{i} sin^{\nu}(x) \end{eqnarray}$ aber da ist der summand mit dem sin auf der echten seite doch noch zuviel!
29.12.2008, 13:44	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Pfusch am Bau! Warum schreibst du dir die ganze Sache nicht einmal ordentlich und vollständig für den Spezialfall $\begin{eqnarray} n=6 \end{eqnarray}$ hin? Dann vergleiche Real- und Imaginärteil beider Seiten. Dann abstrahiere auf beliebige $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ .
29.12.2008, 13:56	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
Also das wäre dann, da es sich ja nur um gerade $\begin{eqnarray} \nu \end{eqnarray}$ handelt: $\begin{eqnarray} cos^6(x)+15cos^4(x)\cdot(-sin^2(x))+15cos^2(x)sin^4(x)+(-sin^6(x)) \end{eqnarray}$ aber erkenne jetzt nicht was mir das sagen soll für beliebige n.
29.12.2008, 14:05	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \left( a + b \right)^6 = a^6 + 6 a^5 b + 15 a^4 b^2 + 20 a^3 b^3 + 15 a^2 b^4 + 6 ab^5 + b^6 \end{eqnarray}$ Was gibt das denn für $\begin{eqnarray} a = \cos x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b = \operatorname{i} \sin x \end{eqnarray}$ ? Und dann spalte das in Real- und Imaginärteil auf und vergleiche mit $\begin{eqnarray} \cos(6x) + \operatorname{i} \sin(6x) \end{eqnarray}$ . Ist doch nicht so schwer ...
29.12.2008, 14:27	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
das ergibt: $\begin{eqnarray} cos^6(x)+6cos^5(x)isin^6(x)+15cos^4(x)+(-sin^2(x))+20cos^3(x)+(-sin^3(x))+15cos^2(x)sin^4(x)+6cos(x)isin^5(x)+(-sin^6(x)) \end{eqnarray}$
29.12.2008, 14:30	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
aber versteh immer noch nicht so ganz was gemeint ist. außerdem soll $\begin{eqnarray} \nu \end{eqnarray}$ doch gerade sein!
29.12.2008, 14:37	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist das ein Durcheinander! Einmal steht "plus", wo "mal" hin soll, dann fehlt wieder ein i. Ist das so schwer, das einmal ordentlich durchzurechnen?
29.12.2008, 15:01	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
das ergibt: $\begin{eqnarray} cos^6(x)+6cos^5(x)isin^6(x)+15cos^4(x)\cdot(-sin^2(x))+20cos^3(x)(-isin^3(x))+15cos^2(x)sin^4(x)+6cos(x)isin^5(x)+(-sin^6(x)) \end{eqnarray}$
29.12.2008, 15:02	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nö.
29.12.2008, 15:12	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
jetzt aber hoffentlich
29.12.2008, 15:27	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe es nochmal geändert und hoffe dass ich jetzt alle fehler gefunden habe!
29.12.2008, 16:07	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Musterlösung für $\begin{eqnarray} n=6 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \cos(6x) + \operatorname{i} \sin(6x) = \left( \cos x + \operatorname{i} \sin x \right)^6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \cos^6 x + 6 \operatorname{i} \cos^5 x \, \sin x - 15 \cos^4 x \, \sin^2 x - 20 \operatorname{i} \cos^3 x \, \sin^3 x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} + 15 \cos^2 x \, \sin^4 x + 6 \operatorname{i} \cos x \, \sin^5 x - \sin^6 x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \left( \cos^6 x - 15 \cos^4 x \, \sin^2 x + 15 \cos^2 x \, \sin^4 x - \sin^6 x \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} + \operatorname{i} \left( 6 \cos^5 x \, \sin x - 20 \cos^3 x \, \sin^3 x + 6 \cos x \, \sin^5 x \right) \end{eqnarray}$ Ein Vergleich von Real- und Imaginärteil zeigt: $\begin{eqnarray} \cos(6x) = \cos^6 x - 15 \cos^4 x \, \sin^2 x + 15 \cos^2 x \, \sin^4 x - \sin^6 x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sin(6x) = 6 \cos^5 x \, \sin x - 20 \cos^3 x \, \sin^3 x + 6 \cos x \, \sin^5 x \end{eqnarray}$
29.12.2008, 17:41	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
ok danke. das ist das gleiche. ist das jetzt schon mein beweis? ich mein das ist ja eigentlich nur für ein beispiel.

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