Differenzenoperator

29.12.2008, 11:40	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzenoperator Die Menge $\begin{eqnarray} (s)_0 \end{eqnarray}$ aller Zahlenfolgen $\begin{eqnarray} (0,y_1,y_2,...) \end{eqnarray}$ ist ein Untervektorraum von (s) die Menge aller Zahlenfolgen (was nicht weiter schwer war zu beweisen ...) . Die Einschränkung $\begin{eqnarray} D_0 \end{eqnarray}$ von D auf $\begin{eqnarray} (s)_0 \end{eqnarray}$ bildet $\begin{eqnarray} (s)_0 \end{eqnarray}$ umkehrbar eindeutig ( D_0 ist also injektiv) auf (s) ab. Auch das lässt sich beweisen den $\begin{eqnarray} D_0(0,y_1,y_2,...)= (y_1,y_2 - y_1, ... ) \end{eqnarray}$ und man sieht gleich, dass sich eine Umkehrfunktion $\begin{eqnarray} D_0^{-1} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} D_0(s_0) \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} (s_0) \end{eqnarray}$ definieren lässt. Was mir Probleme bereitet ist der letzte Teil in dem ich zeigen soll, dass $\begin{eqnarray} DD_0^{-1}=I_{(s)} \end{eqnarray}$ aber dafür müsste die Umkehrfunktion ja auf ganz (s) definiert sein was sie ja nicht ist ... Kann mir da jemand weiterhelfen ?? lg
29.12.2008, 12:20	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} D_0: (s)_0\to (s) \end{eqnarray}$ nicht nur injektiv, sondern auch surjektiv. Nimm Dir dazu einen beliebigen Vektor $\begin{eqnarray} x=(x_0,x_1,\ldots)\in (s) \end{eqnarray}$ , dann kannst Du zu diesem recht leicht ein (eindeutiges) Urbild $\begin{eqnarray} y=(0,y_1,y_2,\ldots)\in(s)_0 \end{eqnarray}$ konstruieren, also es soll $\begin{eqnarray} x=D_0y \end{eqnarray}$ gelten. Der Rest sollte dann klar sein. PS: Beiträge bitte vorher probelesen und Sachen wie den Differenzenoperator D vielleicht noch zusätzlich erklären, um die Verständlichkeit zu erleichtern. Danke.
29.12.2008, 14:03	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ist klar (sowohl deine Erklärung als auch deine Bitte)

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