Konvergenz

29.12.2008, 14:28

Valli003

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Konvergenz

Hallo!

Ich habe mal wieder ein Problem:

und zwar hat man die folge
x n=r*cos(a)+r hoch 2*cos(2*a)+...+ r hoch n *cos (n*a)

der winkel a soll im intervall [0,2 pi) liegen und 0 kleiner gleich r kleiner 1

nun soll man untersuchen ob diese folge konvergiert und wenn ja welchen grenzwert sie annimmt .

also ich habe mir gedracht, dass für große n die letzten summanden immer gegen 0 gehen aber für kleine eben nicht... deshalb komme ich da nicht weiter.

danke für eure hilfe

29.12.2008, 14:39

axelt

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Die Aufgabe stand vor ein paar Tagen erst irgendwo auf dem Board musst mal suchen.

29.12.2008, 14:41

klarsoweit

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RE: Konvergenz

Zitat:

Original von Valli003
x n=r*cos(a)+r hoch 2*cos(2*a)+...+ r hoch n *cos (n*a)

Mit Latex wird vieles klarer:

$\begin{eqnarray*} x_n = r \cdot cos(a) + r^2 \cdot cos(2 \cdot a) + ... + r^n \cdot cos(n \cdot a) \end{eqnarray*}$

Da schreiben wir, weil es so schön dazu paßt, noch dazu:
$\begin{eqnarray*} y_n = r \cdot sin(a) + r^2 \cdot sin(2 \cdot a) + ... + r^n \cdot sin(n \cdot a) \end{eqnarray*}$

Und jetzt betrachte mal x_n + i * y_n . smile

smile

01.01.2009, 18:00

Valli003

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und wo stand das? weil ich hab nichts gefunden...

grüßle Tanzen

Tanzen

01.01.2009, 18:02

tmo

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Benutze klarsoweit's Tipp.

Und dass eine Folge komplexer Zahlen genau dann gegen x+iy konvergiert, wenn die Folge der Realteile gegen x und die Folge der Imaginärteile gegen y konvergiert.

De Moivre ist vielleicht auch noch ein hilfreiches Stichwort.

01.01.2009, 20:16

Metaphysika

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Hallo,

Wink

ich hab es mal mit dem Tipp versucht, komm nun aber nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} x_n-iy_n= rcos(a)+r^2cos(2a)+...+r^ncos(na)+i(rsin(a)+r^2sin(2a)+...+r^nsin(na)) \end{eqnarray*}$

dann kann ich ja jeweils den sin und cos mit dem "gleichen" r davor zusammenfassen und bekomme sowas:

$\begin{eqnarray*} re^{ia}+r^2e^{i2a}+....+r^ne^{ina} \end{eqnarray*}$

dann könnte ich es noch als summe schreiben:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~(re^{ia})^k \end{eqnarray*}$

ist das soweit richtig?

LG

@valli: ein gutes, neues Jahr Big Laugh

Big Laugh

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)

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02.01.2009, 08:25

klarsoweit

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Zitat:

Original von Metaphysika
$\begin{eqnarray*} x_n-iy_n= rcos(a)+r^2cos(2a)+...+r^ncos(na)+i(rsin(a)+r^2sin(2a)+...+r^nsin(na)) \end{eqnarray*}$

Richtig ist:
$\begin{eqnarray*} x_n + iy_n = rcos(a)+r^2cos(2a)+...+r^ncos(na)+i(rsin(a)+r^2sin(2a)+...+r^nsin(na)) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Metaphysika
ist das soweit richtig?

Ja. Die Form dieser Reihe sollte bekannt allgemein sein.

Und warum hängst du dich an einen Thread, der gar nicht von dir ist?

02.01.2009, 12:20

Metaphysika

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Hallo,

Wink

tut mir Leid, wenn ich hier antworte, aber bei der Aufgabe handelt es sich um eine, die valli und ich als "Gruppe" bearbeiten und abgeben müssen (also ich kenne sie) und wir haben abgemacht, dass sie die Aufgabe hier postet.

@Aufgabe: Leider ist mir die Form dieser Reihe nicht bekannt- Reihen haben wir noch gar nicht behandelt. Unter welchem Stichwort könnte ich (wir) vielleicht was dazu finden?

Das Einzige was mir dazu einfällt wäre folgende Formel:

$\begin{eqnarray*} \frac{1-q^(n+1)}{1-q} \end{eqnarray*}$

hilft das hier was? Sonst habe ich leider keine Idee (mit der Formel oben hab ich es schon versucht, kam aber zu keinem Ergebnis)

Vielen Dank für die Hilfe,
LG
Metaphysika

02.01.2009, 12:45

klarsoweit

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Zitat:

Original von Metaphysika
Das Einzige was mir dazu einfällt wäre folgende Formel:

$\begin{eqnarray*} \frac{1-q^(n+1)}{1-q} \end{eqnarray*}$

Das ist doch schon ein guter Ansatz. Allerdings ist das keine Formel, sondern nur ein Term. Da mußt du mal schauen, mit was das gleich ist. Stichwort: endliche geometrische Reihe. Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.01.2009, 15:23

Metaphysika

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Hallo,

Wink

also den Term oben benutzt man ja, um die Partialsumme zu berechnen (sagt wikipedia)
wir haben ihn einmal in einer Aufgabe benutzt, um den Grenzwert einer Summe zu berechnen.

Kann ich jetzt nicht einfach re^ia für q einsetzten? da re^ia kleiner als eins ist, wäre es dann eine Konvergenz mit dem Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-re^{ia}} \end{eqnarray*}$

jetzt müsste ich noch nach Real- und Imaginärteil trennen, da ich ja nur den Grenzwert einer Folge brauche....

LG
Metaphysika

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)

03.01.2009, 14:06

klarsoweit

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Zitat:

Original von Metaphysika
also den Term oben benutzt man ja, um die Partialsumme zu berechnen (sagt wikipedia)

Allerdings muß die Reihe mit 1 anfangen, was hier nicht der Fall ist.

Zitat:

Original von Metaphysika
Kann ich jetzt nicht einfach re^ia für q einsetzten? da re^ia kleiner als eins ist,

Nicht re^(ia) kleiner 1, sondern der Betrag davon. Im Prinzip kannst du das für q einsetzen, mußt aber noch vom Ergebnis 1 abziehen.

Zitat:

Original von Metaphysika
jetzt müsste ich noch nach Real- und Imaginärteil trennen, da ich ja nur den Grenzwert einer Folge brauche....

Komische Begründung. Du brauchst den Grenzwert der Realteile einer Folge und das ist eben der Realteil des Grenzwertes.

03.01.2009, 17:45

Metaphysika

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Hallo,

Wink

tut mir Leid, dass ich nochmal frage, aber ich verstehe nicht, warum ich eins vom Ergebnis abziehen muss... verwirrt

verwirrt

Und das mit dem "trennen" hab ich wohl ein bisschen blöd formuliert, sorry

Lg
Metaphysika

03.01.2009, 19:30

klarsoweit

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Es ist $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~q^n = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ .

Und daraus folgt: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~q^n = \frac{1}{1-q} - 1 \end{eqnarray*}$

Jetzt überlege, welche Formel für dein Problem paßt.

03.01.2009, 19:33

Metaphysika

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Hallo,

Vermutlich die zweite, da ich ja bei k=1 beginne, aufzusummieren

und dann hätte ich ja -q/(1-q)

LG
Metaphysika

03.01.2009, 19:34

klarsoweit

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So siehst's aus. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.01.2009, 19:42

Metaphysika

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Hallo,

Danke^^
meine Lösung ist jetzt komplex, nur leider gelingt es mir nicht, nach Realteil und Imaginärteil zu "trennen"

ich habe ja jetzt folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{r(cosa+isina)}{1-r(cosa+isina)} \end{eqnarray*}$

und das sollte ich ja auf folgende Form bringen: x+iy, dann kann ich meinen Grenzwert ja ablesen. Hast du noch einen Tipp für mich?

LG
Metaphysika

03.01.2009, 19:52

Metaphysika

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hallo,

Wink

Ich könnte vllt so weiter umformen:

$\begin{eqnarray*} \frac{rcosa}{1-re^{ia}} + i\frac{rsina}{1-re^{ia}} \end{eqnarray*}$

aber dann habe ich ja immer noch in beiden termen ein "i"... verwirrt

verwirrt

LG
Metaphysika

05.01.2009, 11:31

Metaphysika

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Hallo,

wär echt nett, wenn mir jemand noch nen hinweis geben könnte...

LG
Metaphysika

05.01.2009, 11:46

klarsoweit

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Zitat:

Original von Metaphysika
ich habe ja jetzt folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{r(cosa+isina)}{1-r(cosa+isina)} \end{eqnarray*}$

Ich würde $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1 - r e^{i \cdot a}} - 1 \end{eqnarray*}$ bevorzugen.
Je weniger Ausdrücke mit komplexen Zahlen du hast, um so besser.

Zitat:

Original von Metaphysika
und das sollte ich ja auf folgende Form bringen: x+iy, dann kann ich meinen Grenzwert ja ablesen. Hast du noch einen Tipp für mich?

Was man immer tut, wenn man einen komplexen Nenner hat: erweitere mit dem konjugiert komplexen des Nenners. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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