Fundamentalsatz der Algebra nach Gauß

29.12.2008, 19:20

Link007

Fundamentalsatz der Algebra nach Gauß

Hello!

bin am lernen aber ich komm mit dem "Fundamentalsatz der Algebra nach Gauß" einfach nicht klar! benötige ihn für die nullstellen eines polynoms. könnte mir vielleicht jemand das prinzip erklären!?

Danke schon mal!

29.12.2008, 19:27

Romaxx

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Was genau macht dir denn zu schaffen?

Wir können nicht hellsehen.

Das hier hilft dir vielleicht schon etwas auf die Sprünge.

29.12.2008, 19:41

Link007

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bei mir im skrip steht:
$\begin{eqnarray*} p(x)=a*(x-x_{1})^{m_{1}} ... (x-x_{k})^{m_{k}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ((x-z_{1})*(x-\vec{z_{1}}))^{n_{1}}....((x-z_{l})*(x-\vec{z_{l}}))^{n_{l}} \end{eqnarray*}$

wobei
$\begin{eqnarray*} ((x-z_{1})*(x-\vec{z_{1}}))^{n_{1}}=x^2-(z_{1}+\vec{z_{1}})x+z_{1}\vec{z_{1}} \end{eqnarray*}$

wie kommt man auf das und was bedeutet es?

p.s.: z sollte kein vektor sein sondern konjugiert habs leider im formeleditor nicht gefunden

danke

29.12.2008, 19:47

tigerbine

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Zitat:

Original von Link007

p.s.: z sollte kein vektor sein sondern konjugiert habs leider im formeleditor nicht gefunden

danke

$\begin{eqnarray*} \overline{z} \end{eqnarray*}$

code:
1:	[latex]\overline{z}[/latex]

29.12.2008, 21:04

Reksilat

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Zitat:

bei mir im skrip steht:
$\begin{eqnarray*} p(x)=a*(x-x_{1})^{m_{1}} ... (x-x_{k})^{m_{k}} \end{eqnarray*}$

Über $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ zerfällt jedes Polynom in Linearfaktoren, das besagt der Fundamentalsatz und somit kann man jedes Polynom in dieser Form schreiben.

Nun gilt aber, dass bei Polynomen mit reellen Koeffizienten zu jeder Nullstelle auch der konjugiert komplexe Wert eine Nullstelle ist, wir können diese also zusammenfassen und jedes Polynom hat die Gestalt:
$\begin{eqnarray*} p(x)=a\cdot(x-z_1)^{n_1}(x-\overline{z_1})^{n_1}\cdot\ldots\cdot(x-z_k)^{n_1}(x-\overline{z_k})^{n_k}\cdot(x-x_1)^{r_1}\cdot\ldots\cdot(x-x_j)^{r_j} \end{eqnarray*}$
Wobei die $\begin{eqnarray*} z_i \end{eqnarray*}$ die komplexen Nullstellen sind und die $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ die rellen, die dann nicht doppelt auftreten müssen.

Die Gleichung
$\begin{eqnarray*} (x-z_1)^{n_1}(x-\overline{z_1})^{n_1}=(x^2-(z_1+\overline{z_1})x+z_1\overline{z_1})^{n_1} \end{eqnarray*}$
ist dann nur einfaches Ausmultiplizieren.

Edit: Die zweite Gleichung bringt nun den Vorteil, dass das quadratische Polynom auf der rechten Seite ein Polynom mit reellen Koeffizienten ist.

Edit2: Hast recht Tigerbine Augenzwinkern

29.12.2008, 21:09

tigerbine

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Zitat:

Nun gilt aber, dass zu jeder Nullstelle auch der konjugiert komplexe Wert eine Nullstelle ist

Der Zusatz sollte lauten: "für ein Polynom mit reellen Koeffizienten", oder? Augenzwinkern

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