Vereinfachen der Summenformel

03.06.2004, 13:00

andi83

Vereinfachen der Summenformel

Ich habe eine Frage bezgl. Vereinfachen der Summenformel. Ich habe die Lösung, weis aber nicht, welche (Rechen-) Regeln dabei angewendet werden. ich glaube irgendwas von gauss o. so! Vielleicht könnt ihr mir dabei helfen. also die aufgabe. $\begin{align*} 3 + \Bigsum_{k=1}^q~(9+(n-1)\cdot 4) = 3 + (n-1)\cdot 9+4\cdot \Bigsum_{k=1}^q~i = 9 \cdot n -6 + 2\cdot n(n-1) \end{align*}$

anstatt q sollte n-1 stehen!

Mir geht es besonders um das Auflösen des Summenzeichens!

Vielen Dank im voraus!

03.06.2004, 13:21

Philipp-ER

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Hi.
Es gilt
$\begin{align*} \sum\limits_{k=1}^n k =\frac{(n+1)n}{2} \end{align*}$
(Beweis zum Beispiel über vollständige Induktion).
Damit sollte alles klar sein, oder?

03.06.2004, 14:10

andi83

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hi Philipp,

zuerst mal danke für deine schnelle antwort, hatte wirklich nicht mit so einer schnellen antwort gerechnet!

also, damit lässt sich jetzt der letze schritt erlären, das hilft mir schonmal sehr viel weiter, nur wie komme ich von dem ersten auf den zweiten term?

schonmal danke

gruß andi

03.06.2004, 20:39

Philipp-ER

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Schau bitte nochmal genau hin, ob du dich nicht verschrieben hast (zum Beispiel ein n mit einem k verwechselt hast). So sieht mir der 1. Rechenschritt nämlich nicht richtig aus.

03.06.2004, 21:24

Meromorpher

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RE: Vereinfachen der Summenformel (WICHTIG wg. Klausurvorbereitung)

Zitat:

Original von andi83
Ich habe eine Frage bezgl. Vereinfachen der Summenformel. Ich habe die Lösung, weis aber nicht, welche (Rechen-) Regeln dabei angewendet werden. ich glaube irgendwas von gauss o. so! Vielleicht könnt ihr mir dabei helfen. also die aufgabe. $\begin{align*} 3 + \Bigsum_{k=1}^q~(9+(n-1)\cdot 4) = 3 + (n-1)\cdot 9+4\cdot \Bigsum_{k=1}^q~i = 9 \cdot n -6 + 2\cdot n(n-1) \end{align*}$

anstatt q sollte n-1 stehen!

Mir geht es besonders um das Auflösen des Summenzeichens!

Vielen Dank im voraus!

Ich habe den Ausdruck mal "wörtlich" genommen. Da der Summenindex nicht in dem Summand vorkommt kann man die Summe einfach durch ein Produkt ersetzen:

$\begin{align*} 3 + \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\left( {9 + \left( {n - 1} \right) \cdot 4} \right) = 3 + \left( {n - 1} \right)} \cdot \left( {9 + \left( {n - 1} \right) \cdot 4} \right) = - 6 + 9n + \left( {n - 1} \right)^2 \cdot 4 \end{align*}$

Der letzte Ausruck stimmt allerdings nicht..

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