Beweisführung

30.12.2008, 11:54	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweisführung Sei $\begin{eqnarray} L := I+D \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} S := I + L + L^{2} + ... + L^{n-1} \end{eqnarray}$ . D ist der Differenzenoperator von der Menge aller Zahlenfolgen auf sich selbst indem jeder Zahlenfolge ihre Differenzenfolge zugeordnet wird : $\begin{eqnarray} D : (s) -> (s) \end{eqnarray}$ ; $\begin{eqnarray} (y_0,y_1,y_2, ... ) -> (y_1 - y_0,y_2 - y_1, ...) \end{eqnarray}$ I ist die identische Abbildung. Noch ein paar Anmerkungen : (I + D) = L ist im ein linker Verschiebungsoperator. Die Menge aller linearen Abbildungen eines linearen Raumes E ( in diesem Fall (s)) in den linearen Raum F ( ebenfalls (s) in diesem Fall) ist eine Algebra daher gilt das A(B +C) = AB + AC. Zu meinem Beweis : $\begin{eqnarray} SL - S = SL - SI = S(L - I) = SD = (y_1 - y_0, y_2 - y_1, ...) + (y_2 - y_1, y_3 - y_2, ...) + ... + (y_n - y_{n-1}, y_{n+1} - y_n, ...)= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =( (y_1 + ... + y_n) - (y_0 + ... + y_{n-1}), (y_2 + ... + y_{n+1}) - (y_1 + ... + y_n), ~...~)= (y_n - y_0, y_{n+1} - y_1, ...) = L^n - I \end{eqnarray}$ Wegen $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n~ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} D^k = (I + D)^n \end{eqnarray}$ gilt auch noch $\begin{eqnarray} L^n - I = \sum_{k=1}^n~ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} D^k \end{eqnarray}$ Was würdet ihr dagen ? Ist die Beweisführung so in Ordnung ? Ist alles verständlich ? Woran könnte ich noch arbeiten ? lg
30.12.2008, 13:38	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist überhaupt die Aufgabe? Im übrigen kann man in jedem Ring $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ mit Einselement $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ für die geometrische Reihe $\begin{eqnarray} s_n(a) = e + a + a^2 + \ldots + a^{n-1} \ \ \text{mit} \ \ a \in R \end{eqnarray}$ folgendermaßen umformen: $\begin{eqnarray} s_n(a) \cdot a = a + a^2 + a^3 + \ldots + a^n \end{eqnarray}$ Durch Subtraktion erhält man daraus $\begin{eqnarray} s_n(a) \cdot a - s_n(a) = a^n - e \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s_n(a) \cdot (a - e) = a^n - e \end{eqnarray}$ Falls $\begin{eqnarray} a-e \end{eqnarray}$ ein multiplikatives Inverses besitzt, geht das noch weiter: $\begin{eqnarray} s_n(a) = \left( a^n - e \right) \left( a - e \right)^{-1} \end{eqnarray}$ Das ist die klassische Herleitung der Formel für die geometrische Reihe.
30.12.2008, 13:58	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Das schaut gleich mal wesentlich eleganter aus Aufgabe war zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} SL - S = SD = L^n - I = \sum_{k=1}^n~ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} D^k \end{eqnarray}$ . Auch wenn meine Art sehr umständlich war, ist es wenigstens nachvollziehbar ? lg

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