quadratische Gleichung (vormals: Soni)

03.09.2006, 13:39

Quadratische Gleichung

quadratische Gleichung (vormals: Soni)

Gegeben ist die Gleichung $\begin{eqnarray*} x²-bx+80=0 \end{eqnarray*}$

Die Frage lautet nun für wieviel Werte für b erhält man zwei positiv,gerade,verschiedene Lösungen?

Meine Gedanken waren bisher folgende:
Damit zwei Lösungen existiern muss die Diskriminante größer o sein,also $\begin{eqnarray*} b²-320>0 \end{eqnarray*}$ ,und damit die Lösungen positiv und gerade sind,muss der Term b²-320 ja auf jeden fall eine Quadratzahl einer natürlichen Zahl sein,aber wie berrechne ich nun sowas,also wie kann ich ermitteln für wie viele b werte zwei gerade lösungen herauskommen??Ich kann ja schlecht,jeder Zahl die größer als 19 ist einsetzen und schauen welche Differenz sich ergibt.....

03.09.2006, 14:37

grybl

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: quadratische Gleichung (vormals:Soni)
Titel geändert, da ich annehme, dass soni eher der/die UserIn ist smile

03.09.2006, 14:42

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du 2 verschiedene positive gerade Lösungen suchst, so muss $\begin{eqnarray*} \frac{b \pm \sqrt{b^2-320}}{2} \end{eqnarray*}$ positiv und gerade sein.

D.h. $\begin{eqnarray*} x_{1{,}2} \end{eqnarray*}$ muss eine Zahl der Form $\begin{eqnarray*} 2 \cdot n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ sein.

Also:
$\begin{eqnarray*} x_{1{,}2} = \frac{b \pm \sqrt{b^2-320}}{2} = 2n \Leftrightarrow b \pm \sqrt{b^2-320} = 4n \end{eqnarray*}$

Mit einer Fallunterscheidung und einer kurzen Umformung mit Quadrieren gelangst du zu einer Darstellung von b, bei der die mögliche Anzahl für b-Werte schon stark beschränkt ist. Man muss dann nur noch ein paar n ausprobieren um die genaue Anzahl von Werten für b zu bestimmen.

//edit: wie mir LOEDs Post gerade klarmacht, wird hier in meinem Post angenommen, dass b nur natürliche Werte annimmt.

//edit2: und in Python kann man natürlich schnell was proggen, um die ermittelten b-Werte zu überprüfen.

03.09.2006, 14:46

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ich kann ja schlecht,jeder Zahl die größer als 19

davon abgesehen, dass 18^2=324 > 320 ist, du also schon kleinere Zahlen als 19 prüfen müsstest.....

Einfach anhand deiner Aussage würde ich schließen, dass b nur natürliche Werte annehmen darf?

03.09.2006, 14:52

soni

Auf diesen Beitrag antworten »

ja,positv,gerade,natürliche zaheln sollen b werte sein

@Mrpsit: Irgendwie steck ich da doch fest

wenn wir mal schauen nach $\begin{eqnarray*} b+\sqrt{b²-320}=4n \end{eqnarray*}$
und dass nun quadrieren dann erhalte ich nach umformungen folgendes $\begin{eqnarray*} b²-320=16n²-8nb+b² \\ -320=16n²-8nb \\ -40=2n²-bn \\ 2n²-bn+40=0 \end{eqnarray*}$

Dochinwiefern bringt mich dass denn weiterhin,da hier die Diskrimante erneut b²-320 beträgt!

03.09.2006, 14:58

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist schon richtig so. smile

Form doch mal weiter um, sodass b alleine steht.

03.09.2006, 15:08

soni

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok,habs verstanden bzw hab Ergebnisse raus,danke dir junger mann

03.09.2006, 15:15

MrPSI

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, wir haben alle natürlichen Werte für b bestimmt. Aber mich würde interessieren, wie man diese Aufgabe löst, wenn man $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ annimmt.

//edit: Stimmt es, dass es dann unendlich viele Werte für b gibt?

//edit2: Jo, wahrscheinlich schon, da ja für jedes $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ zugeordnet werden kann.

Neue Frage »

Antworten »

quadratische Gleichung (vormals: Soni)

Verwandte Themen