2x2 Matrizen Lorentz-Gruppe

30.12.2008, 12:30	jenny123	Auf diesen Beitrag antworten »
2x2 Matrizen Lorentz-Gruppe Hi, ich hab hier die folgende Aufgabe: Sei V der Minkowski-Raum mit einer Raum- und einer Zeitdimension. Also V ist 2dim Vektorraum mit Basis {x,t}, so dass <x,x>=1 <x,t>=0 <t,t>=-1 Beschreibe explizit die Lorentz-Gruppe von V, d.h. die Menge aller 2x2 Matrizen A mit <v,w>=<Av,Aw> für v,w aus V. Hatte mir jetzt überlegt <v,w>=<Av,Aw> explizit mir Variablen als Gleichung aufzuschreiben. Nur dann hab ich eine Gleichung mit 8 unbekannte, was mich nicht wirklich weiterbringt. Habt ihr eine Idee für einen alternativen Ansatz?
31.12.2008, 12:06	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie sind die Begriffe hier unsauber gefaßt. Die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor erfordert als Vektor eine Spalte, also ein Element des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ . Bei der Vorstellung des Vektorraumes $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ist aber darüber nichts gesagt, es heißt nur, er sei zweidimensional und von $\begin{eqnarray} x,t \end{eqnarray}$ erzeugt. Ich kann mir daher nur so einen Reim darauf machen, daß ich, wenn ich $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ als Linearkombinationen bezüglich $\begin{eqnarray} x,t \end{eqnarray}$ schreibe, also $\begin{eqnarray} v = v_x x + v_t t \ \ \text{mit} \ \ v_x, v_t \in \mathbb{R} \, ; \ \ \ \ w = w_x x + w_t t \ \ \text{mit} \ \ w_x, w_t \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ dann bei der Multiplikation mit der Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ auf diese Spalten zugreife, also folgendermaßen interpretiere: $\begin{eqnarray} Av = A \begin{pmatrix} v_x \\ v_t \end{pmatrix} \, , \ \ Aw = A \begin{pmatrix} w_x \\ w_t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn man das so macht und für die Matrix $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ansetzt, dann lautet aufgrund der Vorgaben für die Bilinearform die charakterisierende Bedingung $\begin{eqnarray} \langle Av,Aw \rangle = \langle v,w \rangle \end{eqnarray}$ in Koordinaten so: $\begin{eqnarray} \left( av_x + bv_t \right) \left( a w_x + bw_t \right) - \left( cv_x + dv_t \right) \left( cw_x + dw_t \right) = v_x w_x - v_t w_t \end{eqnarray}$ Man kann nun spezialisieren: $\begin{eqnarray} v = x , \ w = x \end{eqnarray}$ liefert $\begin{eqnarray} \text{(I)} \ \ a^2 - c^2 = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v = x, \ w = t \end{eqnarray}$ liefert $\begin{eqnarray} \text{(II)} \ \ ab = cd \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v= t, \ w = t \end{eqnarray}$ liefert $\begin{eqnarray} \text{(III)} \ \ b^2 - d^2 = -1 \end{eqnarray}$ Wenn du die zweite Gleichung quadrierst und links $\begin{eqnarray} b^2 \end{eqnarray}$ gemäß $\begin{eqnarray} \text{(III)} \end{eqnarray}$ und rechts $\begin{eqnarray} c^2 \end{eqnarray}$ gemäß $\begin{eqnarray} \text{(I)} \end{eqnarray}$ ersetzt, bekommst du nach kurzer Rechnung $\begin{eqnarray} a^2 = d^2 \end{eqnarray}$ . Ebenso zeigst du, indem du anders herum ersetzt: $\begin{eqnarray} b^2 = c^2 \end{eqnarray}$ . Die Matrizen $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ , die in Frage kommen, haben also die Gestalt $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} a & b \\ \pm b & \pm a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Welche Vorzeichenkombinationen tatsächlich vorkommen, mußt du anhand der drei Gleichungen oben überprüfen. Mit den gefundenen Matrizen ist anschließend noch die Probe durchzuführen, ob die charakterisierende Bedingung erfüllt ist. Beachte, daß die Schlußweise oben nur aus Implikationen und nicht aus Äquivalenzen besteht. Das Ganze schreit irgendwie nach hyperbolischen Funktionen: $\begin{eqnarray} \cosh^2 \xi - \sinh^2 \xi = 1 \end{eqnarray}$ . Damit könnte man die Matrizen parametrisieren.
03.01.2009, 15:15	jenny123	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi!!! Super!!! Vielen dank für deine Hilfe!!! Der Ansatz hat mich echt weitergebracht Stehe jetzt allederdings bei der nächsten aufgabe schon wieder vor einem scheinbar unlösbaren problem: Gegeben ist M, der 4dim Minkowski-Raum mit 3 Raum- und einer Zeitdimension. Sei Z={ z $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ M : <z,z> < 0} die Menge der Zeitartigen Punkte und z_1~z_2 : <=> <z_1,z_2> < 0 eine Äquivalenzrelation auf Z. Ich soll jetzt die Äquivalenzkassen bestimmen. Also muss für die einzelnen Äquivalenzklassen gelten: [z]_R = { a $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ Z \| z~a} wobei R die Äquivalenzrelation ist. Ich erinner mich noch dunkel aus LA1 zeiten, dass wir die Klassen immer anhand eines Repräsentantensystems erstellt haben. Nur es scheitert jetzt schon an den einzelnen Repräsentanten. Wie könnte ich denn die Menge Z zerlegen??? Vielen dank für die Hilfe schonmal im Voraus

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