Monotoniebeweis einer Funktion

30.12.2008, 17:26

mmuehlba

Monotoniebeweis einer Funktion

Liebe Mathe-Profis Wink

ICh hab wieder mal eine gefinkelte Frage an Euch - ich soll die Monotonie von folgender Funktion beweisen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2x² +5} \end{eqnarray*}$

Ich weiss, es gibt "einfach Möglichkeiten", aber meine Professorin will ein ganz bestimmtes Schema - ein Studienkollege von mir meinte, es muss so gehen:

Zuerst mal mit $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^+ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2x_1^2 +5} < \frac{1}{2x_2² +5} \end{eqnarray*}$ (soll $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ zum Quadrat heissen)!!!

$\begin{eqnarray*} {2x_2^2 +5} < {2x_1² +5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \pm {x_2} < \pm {x_1} \end{eqnarray*}$

Nun klammerte er das Minus vor den Variablen ein (wir haben ja nur positive Zahlen) und meinte, dass dies eindeutig eine falsche Aussage sei und daher ist $\begin{eqnarray*} f(x)^+ \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend verwirrt

Dieselbe Berechnung machte er mit $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^- \end{eqnarray*}$ ...... am Schluss klammerte er das Plus vor den Varibalen ein (es blieb also $\begin{eqnarray*} -{x_2} < - {x_1} \end{eqnarray*}$ übrig) und behauptete, dass diese Aussage richtig sei und daher ist $\begin{eqnarray*} f(x)^- \end{eqnarray*}$ streng monoton steigend verwirrt

Stimmt das - für mich gibt das keinen Sinn traurig

LG
Mike

30.12.2008, 17:44

klarsoweit

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RE: Monotoniebeweis einer Funktion

Zitat:

Original von mmuehlba
$\begin{eqnarray*} \pm {x_2} < \pm {x_1} \end{eqnarray*}$

So geht das auch nicht. Zumindest ist das formal etwas wackelig. Man muß sich erstmal darauf einigen, für welchen x-Bereich man welche Monotonie zeigen will. Für fallende Monotonie ist das folgendes:

Wenn x_1 < x_2 ist, dann ist f(x_1) > f(x_2).

Jetzt nehmen wir 0 <= x_1 < x_2. Dann ist $\begin{eqnarray*} x_1^2 < x_2^2 \end{eqnarray*}$ . Jetzt formst du das weiter um, bis du f(x_1) > f(x_2) erhältst.

30.12.2008, 18:25

mmuehlba

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Sorry, aber ich versteh nicht - wie soll ich $\begin{eqnarray*} x_1²<x_2² \end{eqnarray*}$ umformen, dass ich auf $\begin{eqnarray*} f(x_1)>f(x_2) \end{eqnarray*}$ komme?

Und wie binde ich die Funktion damit ein? traurig

30.12.2008, 18:30

mmuehlba

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Also ich hab bei einer "normalen Funktion" (ohne Bruch) ja folgendes gemacht:

f: x-> -3x+2

$\begin{eqnarray*} x_1 < x_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 + 2 < x_2 + 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -3x_1 + 2 > -3x_2 + 2 \end{eqnarray*}$

daraus folgt: $\begin{eqnarray*} f(x_1) > f(x_2) \end{eqnarray*}$ = streng monoton fallend

Aber wie kann ich das auf die "Bruchfunktion" anwenden verwirrt

30.12.2008, 20:01

klarsoweit

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Zitat:

Original von mmuehlba
$\begin{eqnarray*} x_1 + 2 < x_2 + 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -3x_1 + 2 > -3x_2 + 2 \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis ist richtig, aber wie kommst du denn von der oberen zur unteren Ungleichung?

Zitat:

Original von mmuehlba
Aber wie kann ich das auf die "Bruchfunktion" anwenden verwirrt

Indem du deine Umformungen in deinem ersten Beitrag einfach in umgekehrter Reihenfolge durchführst.

30.12.2008, 22:34

mmuehlba

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Zitat:

Das Ergebnis ist richtig, aber wie kommst du denn von der oberen zur unteren Ungleichung?

Na ganz einfach - ich hab ja beide Seiten mal -3 multipliziert und ein Minus ändert ja das Ungleichungszeichen Lesen2

Zitat:

Indem du deine Umformungen in deinem ersten Beitrag einfach in umgekehrter Reihenfolge durchführst.

Meinst Du etwar so:

$\begin{eqnarray*} x_1<x_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1² < x_2² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x_1²<2x_2² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x_1²+5<2x_2²+5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2x_1²+5}> \frac{1}{2x_2²+5} \end{eqnarray*}$

Kommt mir irgendwie komisch vor - passt sicher nicht verwirrt

31.12.2008, 11:17

klarsoweit

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Zitat:

Original von mmuehlba
Na ganz einfach - ich hab ja beide Seiten mal -3 multipliziert und ein Minus ändert ja das Ungleichungszeichen Lesen2

Dann mußt du auch die +2 mit -3 multiplizieren und nicht nur die Teile, die dir gefallen.

Zitat:

Original von mmuehlba
Kommt mir irgendwie komisch vor - passt sicher nicht verwirrt

Die Rechnung ist 100% ok. Freude

Was kommt dir denn komisch vor?

31.12.2008, 18:07

mmuehlba

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Danke klarsoweit - dank Dir und meinem "ach so lehrreichen Skript" weiss ich jetzt wie sie es will (ich hoffe zumindest, dass es stimmt):

f: x-> $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2x² + 5} \end{eqnarray*}$

Ich sehe also eindeutig, dass $\begin{eqnarray*} R^+ \end{eqnarray*}$ fällt und $\begin{eqnarray*} R^- \end{eqnarray*}$ steigt!

$\begin{eqnarray*} \mathbb R ^+: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1\leq x_2 \end{eqnarray*}$ nun multipliziere ich mit |. $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ |. $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1²\leq x_1.x_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1.x_2\leq x_2² \end{eqnarray*}$

daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} x_1²\leq x_1.x_2 \leq x_2² \end{eqnarray*}$

( $\begin{eqnarray*} x_1.x_2 \end{eqnarray*}$ kann ich wegkürzen, da $\begin{eqnarray*} a\leq b\leq c \Rightarrow a\leq c \end{eqnarray*}$ daher fahre ich wie folgt weiter: )

$\begin{eqnarray*} 2x_1²\leq 2x_2² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x_1²+5\leq 2x_2²+5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2x_2² + 5} \leq \frac{1}{2x_1² + 5} \end{eqnarray*}$

daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} f(x_2) \leq f(x_1) \end{eqnarray*}$ was beudetet, dass die Funktion in $\begin{eqnarray*} R^+ \end{eqnarray*}$ monoton fallend ist Idee!

In $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^- \end{eqnarray*}$ beginne ich gleich, drehe aber dann das "Zeichen" um (frag mich nicht wieso, aber das hat meine Prof. auch einfach gemacht):

$\begin{eqnarray*} x_1\leq x_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1²\geq x_1.x_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1.x_2\geq x_2² \end{eqnarray*}$

daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} x_1²\geq x_1.x_2 \geq x_2² \end{eqnarray*}$

...................

Am Schluss erhält man $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2x_2² + 5} \geq \frac{1}{2x_1² + 5} \end{eqnarray*}$ was soviel beduetet wie $\begin{eqnarray*} f(x_2) \geq f(x_1) \end{eqnarray*}$ = monoton steigend smile

Was sagt Du (Ihr) zu diesem Beweis verwirrt

LG
Mike

01.01.2009, 13:28

klarsoweit

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Zitat:

Original von mmuehlba
In $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^- \end{eqnarray*}$ beginne ich gleich, drehe aber dann das "Zeichen" um (frag mich nicht wieso, aber das hat meine Prof. auch einfach gemacht):

Weil du die Ungleichung x_1 <= x_2 mit einer negativen Zahl multiplizierst. Augenzwinkern