Differenzierbarkeit, Ableitungen

30.12.2008, 23:06

Tanja21

Differenzierbarkeit, Ableitungen

Bilden Sie die erste Ableitung der Funktionen

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{\cos(e^x+x^3)}{\sqrt{1+x^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=\ln(\ln(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h(x)=\exp(x\cdot \exp(x\cdot \sin(x)) \end{eqnarray*}$

überall dort, wo diese Funktionen definiert und differenzierbar sind.

Eine Idee, das abzuleiten besteht. Auch eine Idee wo die Funktionen definiert sind ist vorhanden, nur weiß ich nicht wie ich zeige wo die Funktionen überall differenzierbar sind. Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?

31.12.2008, 12:12

Leopold

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Alle vorkommenden Funktionen außer der Wurzelfunktion sind in ihrem ganzen Definitionsbereich differenzierbar. Die Funktion $\begin{eqnarray*} x \mapsto \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ hat $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ als Ausnahmestelle für die Differenzierbarkeit.

Die Summenregel, Produktregel, Quotientenregel und die Kettenregel legen fest, wie sich die Differenzierbarkeit bei diesen Operationen fortpflanzt.

01.01.2009, 18:28

Tanja21

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So habe versucht die erste Funktion abzuleiten.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{-\sin(e^x+x^3)\cdot (e^x+3x^2)\cdot \sqrt{1+x^2}-\cos(e^x+x^3)\cdot 2x}{1+x^2\cdot \sqrt{1+x^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{-\sin(e^x+x^3)\cdot (e^x+3x^2)}{1+x^2}-\frac{\cos(e^x+x^3)\cdot 2x}{1+x^2\cdot \sqrt{1+x^2}} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

Nun eine Frage, wieso hat die Wurzelfunktion $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ als Ausnahmestelle für die Differenzierbarkeit?

Danke

01.01.2009, 20:18

Gugi

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Hallo,

also bei mir kommt Folgendes heraus:

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}\frac{cos(e^x+x^{3})}{\sqrt{1+x^{2}}} = \frac{-sin(e^x+x^{3})\cdot(e^x+3x^{2})\cdot\sqrt{1+x^{2}}}{1+x^{2}} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} - \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{cos(e^x+x^{3})\cdot x}{(1+x^{2})\cdot\sqrt{1+x^{2}}} \end{eqnarray*}$

02.01.2009, 13:27

Tanja21

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Du hast recht.

Nun die andere Funktion

$\begin{eqnarray*} g'(x)=\frac{1}{\ln(x)}\cdot \frac{1}{x}=\frac{1}{\ln(x)\cdot x} \end{eqnarray*}$

Stimm das?

Und es wäre sehr sehr sehr lieb wenn mir jemand sagen würde warum die Wurzelfunktion bei x=0 nicht differenzierbar ist.

Danke

02.01.2009, 13:39

klarsoweit

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Zitat:

Original von Tanja21
$\begin{eqnarray*} g'(x)=\frac{1}{\ln(x)}\cdot \frac{1}{x}=\frac{1}{\ln(x)\cdot x} \end{eqnarray*}$

Stimm das?

Ja.

Zitat:

Original von Tanja21
Und es wäre sehr sehr sehr lieb wenn mir jemand sagen würde warum die Wurzelfunktion bei x=0 nicht differenzierbar ist.

Das war mit Sicherheit auch Thema in der Schule. Schau dir die Ableitung der Wurzelfunktion an. Welchen Wert soll die denn bei x=0 haben? Ganz exakt siehst du das am Differenzenquotienten.

02.01.2009, 14:42

Tanja21

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Dann machen wir es mal mit dem Differenzenquotienten:

$\begin{eqnarray*} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}=\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{\sqrt{h^2}}=\sqrt{\frac{x}{h^2}+\frac{1}{h}}-\sqrt{\frac{x}{h^2}} \end{eqnarray*}$

Hier kann ich ja h garnicht gegen 0 laufen lassen verwirrt

02.01.2009, 14:49

klarsoweit

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Da du die Stelle x=0 untersuchen wolltest, solltest du auch x=0 einsetzen. Augenzwinkern

02.01.2009, 14:52

Tanja21

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$\begin{eqnarray*} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{\sqrt{0+h}-\sqrt{0}}{h}=\frac{\sqrt{0+h}-\sqrt{0}}{\sqrt{h^2}}=\sqrt{\frac{0}{h^2}+\frac{1}{h}}-\sqrt{\frac{0}{h^2}}=0 \end{eqnarray*}$

Was sagt mir das jetzt?
Das die Ableitung an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ 0 ist?
Heißt das, dass die Wurzelfunktion nur an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist?
Oder verstehe ich hier komplett was falsch?

02.01.2009, 14:59

klarsoweit

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Zitat:

Original von Tanja21
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{0}{h^2}+\frac{1}{h}}-\sqrt{\frac{0}{h^2}}=0 \end{eqnarray*}$

Ich frage mich, wie du darauf kommst. Ich sehe da ein $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt h} \end{eqnarray*}$ . Und jetzt laß mal h gegen Null gehen.

02.01.2009, 15:06

Tanja21

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Stimmt, hast natürlich recht, habe ich übersehen.
Ja kann ich hier nicht gegen 0 laufen lassen.
Also ist sie in $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ nicht differenzierbar.
Aber warum ist sie überall anders differenzierbar?

02.01.2009, 15:09

klarsoweit

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Weil eben für jedes positive x der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert. Augenzwinkern

02.01.2009, 15:13

Tanja21

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$\begin{eqnarray*} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}=\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{\sqrt{h^2}}=\sqrt{\frac{x}{h^2}+\frac{1}{h}}-\sqrt{\frac{x}{h^2}} \end{eqnarray*}$

Das habe ich net so richtig verstanden, ich finde man kann hier h nicht gegen 0 laufen lassen.

Probieren wir es für $\begin{eqnarray*} x=5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{f(5+h)-f(5)}{h}=\frac{\sqrt{5+h}-\sqrt{5}}{h}=\frac{\sqrt{5+h}-\sqrt{5}}{\sqrt{h^2}}=\sqrt{\frac{5}{h^2}+\frac{1}{h}}-\sqrt{\frac{5}{h^2}} \end{eqnarray*}$

Wieso kann ich denn jetzt h gegen 0 laufen lassen?

Sorry ist bestimmt doof die Frage.

03.01.2009, 03:24

Soz.Päd

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Guten Tag,

bei dieser Umformung ist die Grenzwertbestimmung für x > 0 nicht ohne weitere Begründungen bzw. Umformungen möglich, denn für h gegen "0" wird vom Wert: " ( (x/h^2) + 1/h )^0.5 ",
der gegen "unendlich" strebt,
der Wert: " ( x/h^2 )^0.5" subtrahiert,
der ebenfalls gegen unendlich strebt:
das Verhalten von "Unendlich - Unendlich" kann so nicht bestimmt werden; es könnte sein, dass ein Grenzwert existiert oder dass keiner existiert.

Für x = 0 hätten wir hier hingegen einen Wert, der gegen unendlich strebt und von dem "0" abgezogen wird, so dass hier begründet werden kann, dass ein Grenzwert nicht existiert.

Um das Problem zu umgehen, daher mein Vorschlag:

Wir formen den Term : " ( (x + h)^0.5 - (x^0.5) ) / h "
durch Erweitern um, indem wir Zähler und Nenner mit:
" ( (x + h)^0.5 + (x^0.5) ) "
multiplizieren; dadurch erhältst du im Nenner die dritte binomische Formel.
Durch Vereinfachen erhältst du dann einen Ausdruck, bei dem man für einen gegebenen x-Wert den Wert "h" gegen "0" laufen lassen kann; man sieht dann auch hier, dass für x = 0 die Funktion nicht differenzierbar ist.

Gruß
Soz.Päd.

03.01.2009, 14:08

klarsoweit

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Zitat:

Original von Soz.Päd
dadurch erhältst du im Nenner die dritte binomische Formel.

Man erhält im Zähler die 3. binomische Formel. Augenzwinkern

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