Rechts-Schrauben-Regel d. Kreuzproduktes

31.12.2008, 11:17

Haunted

Rechts-Schrauben-Regel d. Kreuzproduktes

Moin.

Mich würde mal interessieren, warum das Vektorprodukt $\begin{eqnarray*} \vec{a} \times \vec{b} \end{eqnarray*}$ zweier Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a}, \vec{b} \end{eqnarray*}$ im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ immer so steht, wie es die Rechte-Hand-Regel (bzw. Rechts-Schrauben-Regel) vorhersagt. Also wenn $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ gedreht wird, dann zeigt $\begin{eqnarray*} \vec{a} \times \vec{b} \end{eqnarray*}$ in jene Richtung, in die sich eine rechtsgewundene Schraube schieben würde.

Woher kommt das? Wie kommt man auf diese Regel? Für mich sieht diese Regel auf den ersten Blick aus wie eine Bauernregel, die halt zufälligerweise immer stimmt. Aber da steckt doch (hoffentlich) auch etwas Mathe dahinter!

Gleich, ob ich an diesem Feiertag noch ne Antwort erhalte oder nicht, ich danke schon mal für die Zeit und Mühe, und wünsche jedem Leser einen guten Start ins neue Jahr.

03.01.2009, 12:04

Haunted

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Ich formuliere mal die Frage ein wenig klarer. Gegeben seien zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a}, \vec{b} \in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ . Nun kann man mittels Rechts-Schrauben-Regel (bzw. Rechte-Hand-Regel) die Orientierung des Vektors $\begin{eqnarray*} \vec{a}\times \vec{b} \end{eqnarray*}$ vorhersagen.
Doch woher kommt diese Rechts-Schrauben-Regel? Durch welche mathematischen Argumente wird sie gerechtfertigt?

Grüße,
Haunted

03.01.2009, 12:51

mYthos

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Die Rechts-Schraubregel ist keine Bauernregel und auch kein Zufall, sondern hat natürlich eine Begründung, die konform mit der Definition des vektoriellen Produktes ist:

Voraussetzung: Wir befinden uns in einem orthogonalen Rechtssystem x,y,z (es gibt selbstverständlich auch andere Systeme, aber üblicherweise verwenden wir dieses). Die Orientierung der z - Achse folgt daraus, dass sie in jene Richtung zeigt, in die sich eine Rechtsschraube bewegt, wenn mit ihr die x-Achse auf dem kürzesten Weg (Rechtsdrehung um +90°) in die y-Achse gedreht wird.

Danach erfolgt die Definition der Orientierung des (vektoriellen) Produktvektors:

Der Vektor a x b geht aus den beiden Vektoren a und b ebenso hervor, wie die Achsen des zu Grunde liegenden Koordinatensystemes.
a, b und a x b bilden demnach ebenso ein Rechtssystem. Wenn man also a nach b um den kleineren Winkel dreht, zeigt die Rechtsschraube in die Richtung von a x b.

Beim Erstellen des Produktvektors (mit der Determinantenmethode) wird sozusagen automatisch immer der "richtige" Vektor ausgegeben, weil die vektoriellen Produkte der Einheitsvektoren $\begin{eqnarray*} \vec{i} \ , \ \vec{j} \ , \vec{k} \end{eqnarray*}$ festgelegt sind:

$\begin{eqnarray*} \vec{i} \times \vec{j} = \vec{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{j} \times \vec{k} = \vec{i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{k} \times \vec{i} = \vec{j} \end{eqnarray*}$

------------------------

$\begin{eqnarray*} \vec{i} \times \vec{i} = \vec{0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{j} \times \vec{i} = -\vec{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

mY+

03.01.2009, 14:20

haunted

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Zitat:

Original von mYthos
Beim Erstellen des Produktvektors (mit der Determinantenmethode) wird sozusagen automatisch immer der "richtige" Vektor ausgegeben, weil die vektoriellen Produkte der Einheitsvektoren $\begin{eqnarray*} \vec{i} \ , \ \vec{j} \ , \vec{k} \end{eqnarray*}$ festgelegt sind

Genau das ist der Knackpunkt. Woran erkenne ich in der Formel
$\begin{eqnarray*} \mathrm{det}\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{pmatrix} = (a_2 b_3 - a_3 b_2) \vec{i} + (a_3 b_1 - a_1 b_3) \vec{j} + (a_1 b_2 - a_2 b_1) \vec{k} \end{eqnarray*}$
dass der resultierende Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{a}\times \vec{b} \end{eqnarray*}$ in die vorgesehene Richtung zeigt?

03.01.2009, 14:40

mYthos

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Dazu muss man erst einmal nachvollziehen, wie man überhaupt zu dieser Formel kommt.

$\begin{eqnarray*} \vec{a} \times \vec{b} = (a_1 \vec{i}+a_2 \vec{j}+a_3 \vec{k}) \times (b_1 \vec{i}+b_2 \vec{j}+b_3 \vec{k}) \end{eqnarray*}$

Nun wenden wir darauf das Distributivgesetz und die zuvor gezeigten einfachen Vektorprodukte an (Kommutativgesetz gilt NICHT!), in welchem ja die Bedingungen des Rechtssystemes genau festgelegt sind. Danach genügt auch der Ergebnisvektor den festgelegten Bedingungen.

mY+

03.01.2009, 15:23

Haunted

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Die Gleichung $\begin{eqnarray*} \vec{a} \times \vec{b} = (a_1 \vec{i}+a_2 \vec{j}+a_3 \vec{k}) \times (b_1 \vec{i}+b_2 \vec{j}+b_3 \vec{k}) \end{eqnarray*}$ habe ich gleich nach deinem Beitrag über die Determinante ausgerechnet (mittels Distributivgesetzt etc.). Da erhält man ja sowas wie $\begin{eqnarray*} (a_1 \vec{i}) \times (b_2 \vec{j}) = a_1 b_3 (\vec{i}\times\vec{j}) = a_1 b_ 2 \vec{k} \end{eqnarray*}$ usw. Und ich muss sagen: ich sehs einfach nicht. Auch bei Betrachten der Gleichung kann ich den Schritt von "Definition des Kreuzproduktes von Einheitsvektoren" auf "Orientierung des Kreuzproduktes zweier bel. Vektoren" nicht nachvollziehen.

03.01.2009, 19:09

mYthos

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Es ist eigentlich einfach: Rechnest du das Kreuzprodukt mit Hilfe dieser gegebenen einfachen Beziehungen bei den Einheitsvektoren bis zum Ende vollständig aus, so kannst du dich darauf verlassen, dass das Resultat letztendlich eben auch denselben Bedingungen wie jenen, die bei den Einheitsvektoren gültig waren, genügt.

mY+

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