Matrizen Gruppe

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lilithilli1210 Auf diesen Beitrag antworten »
Matrizen Gruppe
So hier ist schon wieder eine Aufgabe die mir Schwierigkeiten bereitet.
Gruppen werden einfach nicht meine Freunde und vorallem die Matrizengruppen nicht ^^


Wir betrachten die Gruppe der invertierbaren
(2 x 2)-Matrizen mit Koeffizienten im Körper

1) Geben Sie alle Elemente dieser Gruppe an. Welche Ordnung haben sie?

2) Zeigen Sie, daß die Operation von auf dem Vektorraum vermöge der Matrizenmultiplikation

eine Gruppenwirkung ist.

3) Bestimmen Sie die Standgruppen und Bahnen der vier Elemente von

4) Schränkt man die Gruppenwirkung auf die Menge ein so definiert sie einen Gruppenhomomorphismus wobei ist. Bestimmen Sie den Kern des Homomorphismus und schließen Sie, daß es ein Isomorphismus ist.

So hier ist schon wieder eine Aufgabe die mir Schwierigkeiten bereitet.
Gruppen werden einfach nicht meine Freunde und vorallem die Matrizengruppen nicht ^^

was ist denn genau dieser körper F2?
und was bedeutet das GL? ist das eine besondere Gruppe?
ich kann bis jetzt noch nichts mit der Aufgabe anfangen...

Bitte helft mir sie zu verstehen und zu lösen =)

LG Lili
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lilithilli1210
Wir betrachten die Gruppe der invertierbaren
(2 x 2)-Matrizen mit Koeffizienten im Körper

Da steht die Antwort auf deine Fragen. ist dabei der Restklassenkörper modulo zwei, also , falls du mit dieser Schreibweise mehr anfangen kannst.
 
 
lilithilli1210 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, das sagt mir jetzt aber nur dass F2 die Zahlen 0 und 1 sind richtig?
aber was jetzt GL2 ist versteh ich immer noch nich und was das bedeutet dass da das F2 in Klammern steht hinter dem GL...

Elemente könnten sein:



aber das scheint mir doch ein bisschen viel...
oder liegt da jetzt ein denkfehler drin....
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Die sind doch nicht alle invertierbar. Nur die invertierbaren Matrizen von denen die du aufgezählt hast, das sind genau 6 Stück
Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »

GL steht für "General Linear Group", das ist die allgemeine lineare Gruppe.

In diesem Kontext, wie schon die Vorposter schrieben, die invertierbaren Matrizen
lilithilli1210 Auf diesen Beitrag antworten »

und wie finde ich raus, ob sie invertierbar sind?

sie müssen ja dann zusammen 0 ergeben, aber wie rechne ich mit matrizen?

LG Lili
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Also wie man mit Matrizen rechnet sollte dir doch bekannt sein?!. Addition komponentenweise, Multiplikation ist dieses Zeilenvektor * Spaltenvektor rechnen(kanns nicht besser ausdrücken ohne dir ne Formel hinzuklatschen *g*).

Invertierbar sind sie wenn die Zeilenvektoren l.u. sind. Das sieht man bei 2 Vektoren sofort. Alternativ kannst du die Determinante ausrechnen falls du das schon kennst
lilithilli1210 Auf diesen Beitrag antworten »

konnte bis eben nicht matrizen multiplizieren, habs mir übers inet angeeignet.
und auch das verfahren zur inversenfindung.

habe jetzt folgende invertierbaren matrizen:



allerdings verwirrt mich, dass in aufgabenteil 3) etwas von 4 Elementen steht...?

Ist die Ordnung der Elemente 2 oder 4? oder was ganz anderes ??

LG Lili
toasten Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

da ist ja auch die Rede von . Und da alle Elemente dieser Gruppe bzw Körpers oben und unten entweder eine 1 oder 0 haben, ist .

@ alle: Was ist denn genau beim 4. Teil gemeint? Wie kommt man von der Einschränkung der Gruppenwirkung

auf die Abbildung
?

Danke
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Die Abbildung wird relativ kanonisch gebildet.
ist jene Abbildung die abbildet. Dabei wird dann eben v nur aus P genommen(Da A0 = 0 immer gilt und man dann keine komplette symmetrische Gruppe hinbekommt sondern eben nur die S3 als Untergruppe der S4 hätte).
lilithilli1210 Auf diesen Beitrag antworten »

also stimmen die elemente?

die ordnung müsste doch 2 sein oder?
die ordnung der gruppe ist ja 6.

die ordnung der elemente muss ja immer ein teiler von der gruppenordnung sein, richtig?
also kann es ja 4 nicht sein...

LG Lili
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt sowohl Elemente der Ordnung 1,2 als auch 3
lilithilli1210 Auf diesen Beitrag antworten »

und wie weiß is welches element welche ordnung hat?
wir hatten das noch nie bei matrizengruppen...
und ich find nix dazu...

hatten sonst immer soweit ich weiß: ordnung de elements: anzahl der zahlen im element(so ungefähr)

LG Lili
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Du multiplizierst das Element solange auf sich drauf bis es die Einheitsmatrix ist.
Ordnung 2 ist also A*A=E, Ordnung 3 ist A*A*A=E.

Ich kann nicht glauben dass ihr eine solche Aufgabe hatte ohne zu wissen was Ordnung oder Matrizenmultiplikation ist.
toasten Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kiste...
ist jene Abbildung die abbildet. Dabei wird dann eben v nur aus P genommen.


Ich probiere das mal mit meinen Worten zu sagen:

Die Abbildung ordnet also jeder Matrix aus eine Abbildung zu, für welche gilt.

Es ist also: , also unsere Linkstranslation/-wirkung f eingeschränkt auf P.

Ist das so richtig von mir verstanden?
lilithilli1210 Auf diesen Beitrag antworten »

das mit der ordnung kannte ich wirklich nicht, bei der matrizenmultiplikation hatte ich eine ahnung, wie hatten es mal in der übung angesprochen, aber verstanden hatte ich es nie.

habe jez als ordnungen:

für das 1. element: 1 (ist ja selbst die einheitsmatrix)
für das 2.-5. element: 2
für das 6. element: 3

könnte mir jemand von euch verständlich erklären was eine gruppenwirkung ist, das hatten wir zwar in der vorlesung und man findet auch was dazu im script und im inet, aber für mich ist das alles andere als verständlich...

LG Lili
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt noch ein zweites Element mit Ordnung 3(macht ja auch Sinn wenn es isomorph zur S_3 sein soll Augenzwinkern ).

@toasten
Nicht ganz, dein ersten Gleichheitszeichen ist falsch. Du setzt dort eine Abbildung mit einem Vektor gleich. Richtig ist wobei das Psi etwas gekünstelt aussieht Augenzwinkern
lilithilli1210 Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt das 5. element ist noch ordnung 3.
hatte mich da verrechnet.

also: 1. : ordnung 1
2.-4. : ordnung 2 (3 Stück)
5.-6. : ordnung 3 (2 Stück)

gruppenwirkung? traurig unglücklich traurig

LG Lili
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Mhh ich weiß nicht wie man Gruppenwirkung toll erklären könnte. Das Beispiel hier ist schon nahezu das einfachste dazu.

Ansonsten operiert beispielsweise die auf auf natürliche Weise.

Gruppenoperationen sind einfach Operationen einer Gruppe auf einer Menge. Dabei wird die Struktur der Gruppe bei der Operation beachtet.

Frage bitte konkreter, so kann ich auch konkreter anworten.

Ansonsten fange einfach mal an die Eigenschaften die bei einer Operation gelten müssen zu überprüfen
toasten Auf diesen Beitrag antworten »

zur Def. Gruppenwirkung:

Sei X nichtleere Menge und G eine Gruppe.
Dann ist die Abbildung mit
neutral,

eine Linkswirkung.

Entsprechend ist eine Rechtswirkung. Um über Gruppenwirkungen zu sprechen reicht es aber aus sich auf Linkswirkungen zu konzentrieren, da es eine Bijektion gibt (welche mir aber gerade nicht einfällt), die "duale" Resultate für Rechtswirkungen liefert.

Hoffe, obiges reicht dir für was Gruppenwirkungen sind.
toasten Auf diesen Beitrag antworten »

@ Kiste:

hmm... irgendwie geht die Blockade in meinem Kopf nicht ganz raus Kopf.

Ich persönlich möchte halt gerne zeigen mittels Gruppenwirkung, dass isomorph zu ist.

aber irgendwie... verwirrt
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

In der Aufgabenstellung ist bereits ziemlich genau beschrieben was dafür zu tun ist. Gruppentheoretisch sollst du zeigen dass die Operation treu ist(dann ex. eine Einbettung in die symm. Gruppe) d.h. die Abbildung muss injektiv sein. Da wir einen Homomorphismus haben reicht es also dass du überprüfst ob ein Element trivial operiert.

PS: Ich glaube die Dualität ergibt sich einfach wenn man die isomorphe Gruppe betrachtet mit . Dann operiert eine Rechtsoperation von wie eine Linksoperation von
toasten Auf diesen Beitrag antworten »

ahh, jetzt ist, glaube ich, der Groschen gefallen:

Die Einschränkung sieht erstmal wie folgt aus:
.

Nun schau ich mir den Gruppenhomomorphismus

mit

Dass treu also ein Monomorphismus ist, sehe ich daran, dass ist.

Da nun auch noch die Kardinalität von und gleich 6 sind, folgt, dass ein Isomorphismus ist, also .

Danke Kiste.

Grüße
Toasten
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Schön smile

Die Stabilisatoren(ich vermute das bezeichnet ihr als Standgruppen) sollten ja schon in der Teilaufgabe davor berechnet werden. Von daher eine tolle Lösung
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