Matrizen Gruppe

31.12.2008, 14:21

lilithilli1210

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Matrizen Gruppe

So hier ist schon wieder eine Aufgabe die mir Schwierigkeiten bereitet.
Gruppen werden einfach nicht meine Freunde und vorallem die Matrizengruppen nicht ^^

Wir betrachten die Gruppe $\begin{eqnarray*} GL_2( \mathbb F_2) \end{eqnarray*}$ der invertierbaren
(2 x 2)-Matrizen mit Koeffizienten im Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$

1) Geben Sie alle Elemente dieser Gruppe an. Welche Ordnung haben sie?

2) Zeigen Sie, daß die Operation von $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ auf dem Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2^2 \end{eqnarray*}$ vermöge der Matrizenmultiplikation
$\begin{eqnarray*} GL_2 \mathbb F_2 \times F_2^2 \rightarrow F_2^2, (A,v) \mapsto A \cdot v \end{eqnarray*}$
eine Gruppenwirkung ist.

3) Bestimmen Sie die Standgruppen und Bahnen der vier Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2^2 \end{eqnarray*}$

4) Schränkt man die Gruppenwirkung auf die Menge $\begin{eqnarray*} P:= \{ {1 \choose 0}, {0 \choose 1} , {1 \choose 1} \} \end{eqnarray*}$ ein so definiert sie einen Gruppenhomomorphismus $\begin{eqnarray*} \varphi: GL_2( \mathbb F_2) \rightarrow S(P) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} S(P):= \{f:P \rightarrow P | \text{f bijektiv} \} \cong S_3 \end{eqnarray*}$ ist. Bestimmen Sie den Kern des Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ und schließen Sie, daß es ein Isomorphismus ist.

So hier ist schon wieder eine Aufgabe die mir Schwierigkeiten bereitet.
Gruppen werden einfach nicht meine Freunde und vorallem die Matrizengruppen nicht ^^

was ist denn genau dieser körper F2?
und was bedeutet das GL? ist das eine besondere Gruppe?
ich kann bis jetzt noch nichts mit der Aufgabe anfangen...

Bitte helft mir sie zu verstehen und zu lösen =)

LG Lili

31.12.2008, 15:53

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von lilithilli1210
Wir betrachten die Gruppe $\begin{eqnarray*} GL_2( \mathbb F_2) \end{eqnarray*}$ der invertierbaren
(2 x 2)-Matrizen mit Koeffizienten im Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$

Da steht die Antwort auf deine Fragen. $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ ist dabei der Restklassenkörper modulo zwei, also $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/2\mathbb Z \end{eqnarray*}$ , falls du mit dieser Schreibweise mehr anfangen kannst.

31.12.2008, 16:56

lilithilli1210

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ok, das sagt mir jetzt aber nur dass F2 die Zahlen 0 und 1 sind richtig?
aber was jetzt GL2 ist versteh ich immer noch nich und was das bedeutet dass da das F2 in Klammern steht hinter dem GL...

Elemente könnten sein:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&1 \\1&1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1&1 \\1&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1&1 \\0&1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1&0 \\1&1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&1 \\1&1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&0 \\1&1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1&1 \\0&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&1 \\0&1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&1 \\1&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1&0 \\0&1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1&0 \\1&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&0 \\0&1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&0 \\1&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&1 \\0&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1&0 \\0&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&0 \\0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

aber das scheint mir doch ein bisschen viel...
oder liegt da jetzt ein denkfehler drin....

31.12.2008, 16:59

kiste

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Die sind doch nicht alle invertierbar. Nur die invertierbaren Matrizen von denen die du aufgezählt hast, das sind genau 6 Stück

31.12.2008, 17:06

Philipp Imhof

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GL steht für "General Linear Group", das ist die allgemeine lineare Gruppe.

In diesem Kontext, wie schon die Vorposter schrieben, die invertierbaren Matrizen

02.01.2009, 20:49

lilithilli1210

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und wie finde ich raus, ob sie invertierbar sind?

sie müssen ja dann zusammen 0 ergeben, aber wie rechne ich mit matrizen?

LG Lili

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02.01.2009, 20:55

kiste

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Also wie man mit Matrizen rechnet sollte dir doch bekannt sein?!. Addition komponentenweise, Multiplikation ist dieses Zeilenvektor * Spaltenvektor rechnen(kanns nicht besser ausdrücken ohne dir ne Formel hinzuklatschen *g*).

Invertierbar sind sie wenn die Zeilenvektoren l.u. sind. Das sieht man bei 2 Vektoren sofort. Alternativ kannst du die Determinante ausrechnen falls du das schon kennst

02.01.2009, 21:30

lilithilli1210

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konnte bis eben nicht matrizen multiplizieren, habs mir übers inet angeeignet.
und auch das verfahren zur inversenfindung.

habe jetzt folgende invertierbaren matrizen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&0 \\0&1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0&1 \\1&0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1&1 \\0&1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1&0 \\1&1 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0&1 \\1&1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1&1 \\1&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

allerdings verwirrt mich, dass in aufgabenteil 3) etwas von 4 Elementen steht...?

Ist die Ordnung der Elemente 2 oder 4? oder was ganz anderes ??

LG Lili

02.01.2009, 21:53

toasten

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Hi,

da ist ja auch die Rede von $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2^2 \end{eqnarray*}$ . Und da alle Elemente dieser Gruppe bzw Körpers oben und unten entweder eine 1 oder 0 haben, ist $\begin{eqnarray*} | \mathbb{F}_2^2 | = 4 \end{eqnarray*}$ .

@ alle: Was ist denn genau beim 4. Teil gemeint? Wie kommt man von der Einschränkung der Gruppenwirkung
$\begin{eqnarray*} f|_P: GL_2(\mathbb{F}_2) \times \mathbb{F}_2^2 \rightarrow \mathbb{F}_2^2 \end{eqnarray*}$
auf die Abbildung
$\begin{eqnarray*} \varphi : GL_2(\mathbb{F}_2) \rightarrow S(P) \end{eqnarray*}$ ?

Danke

02.01.2009, 22:02

kiste

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Die Abbildung wird relativ kanonisch gebildet.
$\begin{eqnarray*} \varphi(A) \end{eqnarray*}$ ist jene Abbildung die $\begin{eqnarray*} v\mapsto Av \end{eqnarray*}$ abbildet. Dabei wird dann eben v nur aus P genommen(Da A0 = 0 immer gilt und man dann keine komplette symmetrische Gruppe hinbekommt sondern eben nur die S3 als Untergruppe der S4 hätte).

02.01.2009, 22:14

lilithilli1210

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also stimmen die elemente?

die ordnung müsste doch 2 sein oder?
die ordnung der gruppe ist ja 6.

die ordnung der elemente muss ja immer ein teiler von der gruppenordnung sein, richtig?
also kann es ja 4 nicht sein...

LG Lili

02.01.2009, 22:22

kiste

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Es gibt sowohl Elemente der Ordnung 1,2 als auch 3

02.01.2009, 22:40

lilithilli1210

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und wie weiß is welches element welche ordnung hat?
wir hatten das noch nie bei matrizengruppen...
und ich find nix dazu...

hatten sonst immer soweit ich weiß: ordnung de elements: anzahl der zahlen im element(so ungefähr)

LG Lili

02.01.2009, 22:58

kiste

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Du multiplizierst das Element solange auf sich drauf bis es die Einheitsmatrix ist.
Ordnung 2 ist also A*A=E, Ordnung 3 ist A*A*A=E.

Ich kann nicht glauben dass ihr eine solche Aufgabe hatte ohne zu wissen was Ordnung oder Matrizenmultiplikation ist.

02.01.2009, 22:59

toasten

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Zitat:

Original von kiste...
$\begin{eqnarray*} \varphi(A) \end{eqnarray*}$ ist jene Abbildung die $\begin{eqnarray*} v\mapsto Av \end{eqnarray*}$ abbildet. Dabei wird dann eben v nur aus P genommen.

Ich probiere das mal mit meinen Worten zu sagen:

Die Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ordnet also jeder Matrix aus $\begin{eqnarray*} GL_2(\mathbb{F}_2) \end{eqnarray*}$ eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \psi \in S(P) \end{eqnarray*}$ zu, für welche $\begin{eqnarray*} \psi(v)=Av \end{eqnarray*}$ gilt.

Es ist also: $\begin{eqnarray*} \varphi (A) = \psi(v)=Av \end{eqnarray*}$ , also unsere Linkstranslation/-wirkung f eingeschränkt auf P.

Ist das so richtig von mir verstanden?

02.01.2009, 23:10

lilithilli1210

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das mit der ordnung kannte ich wirklich nicht, bei der matrizenmultiplikation hatte ich eine ahnung, wie hatten es mal in der übung angesprochen, aber verstanden hatte ich es nie.

habe jez als ordnungen:

für das 1. element: 1 (ist ja selbst die einheitsmatrix)
für das 2.-5. element: 2
für das 6. element: 3

könnte mir jemand von euch verständlich erklären was eine gruppenwirkung ist, das hatten wir zwar in der vorlesung und man findet auch was dazu im script und im inet, aber für mich ist das alles andere als verständlich...

LG Lili

02.01.2009, 23:16

kiste

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Es gibt noch ein zweites Element mit Ordnung 3(macht ja auch Sinn wenn es isomorph zur S_3 sein soll Augenzwinkern

Augenzwinkern

).

@toasten
Nicht ganz, dein ersten Gleichheitszeichen ist falsch. Du setzt dort eine Abbildung mit einem Vektor gleich. Richtig ist $\begin{eqnarray*} (\varphi(A))(v) = \psi(v) = Av \end{eqnarray*}$ wobei das Psi etwas gekünstelt aussieht Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.01.2009, 23:35

lilithilli1210

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stimmt das 5. element ist noch ordnung 3.
hatte mich da verrechnet.

also: 1. : ordnung 1
2.-4. : ordnung 2 (3 Stück)
5.-6. : ordnung 3 (2 Stück)

gruppenwirkung? traurig

traurig

unglücklich

traurig

LG Lili

02.01.2009, 23:56

kiste

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Mhh ich weiß nicht wie man Gruppenwirkung toll erklären könnte. Das Beispiel hier ist schon nahezu das einfachste dazu.

Ansonsten operiert beispielsweise die $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \{1,\ldots,n\} \end{eqnarray*}$ auf natürliche Weise.

Gruppenoperationen sind einfach Operationen einer Gruppe auf einer Menge. Dabei wird die Struktur der Gruppe bei der Operation beachtet.

Frage bitte konkreter, so kann ich auch konkreter anworten.

Ansonsten fange einfach mal an die Eigenschaften die bei einer Operation gelten müssen zu überprüfen

03.01.2009, 19:35

toasten

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zur Def. Gruppenwirkung:

Sei X nichtleere Menge und G eine Gruppe.
Dann ist die Abbildung $\begin{eqnarray*} \phi: G \times X \rightarrow X \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} \phi(e,x) = x, \forall x \in X, e \in G \end{eqnarray*}$ neutral,
$\begin{eqnarray*} \forall (g,h,x) \in G^2 \times X: \phi(g\cdot h,x)=\phi(g, \phi(h,x)) \end{eqnarray*}$
eine Linkswirkung.

Entsprechend ist $\begin{eqnarray*} \nu: X \times G \rightarrow X \end{eqnarray*}$ eine Rechtswirkung. Um über Gruppenwirkungen zu sprechen reicht es aber aus sich auf Linkswirkungen zu konzentrieren, da es eine Bijektion gibt (welche mir aber gerade nicht einfällt), die "duale" Resultate für Rechtswirkungen liefert.

Hoffe, obiges reicht dir für was Gruppenwirkungen sind.

03.01.2009, 19:47

toasten

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@ Kiste:

hmm... irgendwie geht die Blockade in meinem Kopf nicht ganz raus Kopf.

Ich persönlich möchte halt gerne zeigen mittels Gruppenwirkung, dass $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ isomorph zu $\begin{eqnarray*} GL_2(\mathbb{F}_2) \end{eqnarray*}$ ist.

aber irgendwie... verwirrt

verwirrt

03.01.2009, 20:14

kiste

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In der Aufgabenstellung ist bereits ziemlich genau beschrieben was dafür zu tun ist. Gruppentheoretisch sollst du zeigen dass die Operation treu ist(dann ex. eine Einbettung in die symm. Gruppe) d.h. die Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ muss injektiv sein. Da wir einen Homomorphismus haben reicht es also dass du überprüfst ob ein Element trivial operiert.

PS: Ich glaube die Dualität ergibt sich einfach wenn man die isomorphe Gruppe $\begin{eqnarray*} G^{op} \end{eqnarray*}$ betrachtet mit $\begin{eqnarray*} a*b := ba \end{eqnarray*}$ . Dann operiert eine Rechtsoperation von $\begin{eqnarray*} G^{op} \end{eqnarray*}$ wie eine Linksoperation von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$

03.01.2009, 21:17

toasten

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ahh, jetzt ist, glaube ich, der Groschen gefallen:

Die Einschränkung $\begin{eqnarray*} f\mid_P \end{eqnarray*}$ sieht erstmal wie folgt aus:
$\begin{eqnarray*} f\mid_P : GL_2(\mathbb{F}_2) \times P \rightarrow im(f\mid_P)=P \end{eqnarray*}$ .

Nun schau ich mir den Gruppenhomomorphismus
$\begin{eqnarray*} \varphi: GL_2(\mathbb{F}_2) \rightarrow S(P) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A \mapsto \varphi(A)=\varphi_A: P \rightarrow P \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v \mapsto \varphi(A,v)=Av \end{eqnarray*}$

Dass $\begin{eqnarray*} f\mid_P \end{eqnarray*}$ treu also $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ein Monomorphismus ist, sehe ich daran, dass $\begin{eqnarray*} \bigcap_{v \in P} Stab_{GL_2(\mathbb{F}_2)}^{f} (v) = \left\{ e \right\} \Leftrightarrow Kern(\varphi)={e} \Leftrightarrow \varphi \textit{ injektiv} \end{eqnarray*}$ ist.

Da nun auch noch die Kardinalität von $\begin{eqnarray*} GL_2(\mathbb{F}_2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S(P) \cong S_3 \end{eqnarray*}$ gleich 6 sind, folgt, dass $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ein Isomorphismus ist, also $\begin{eqnarray*} GL_2(\mathbb{F}_2) \cong S_3 \end{eqnarray*}$ .

Danke Kiste.

Grüße
Toasten

03.01.2009, 21:32

kiste

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Schön

smile

Die Stabilisatoren(ich vermute das bezeichnet ihr als Standgruppen) sollten ja schon in der Teilaufgabe davor berechnet werden. Von daher eine tolle Lösung

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