Ebenengleichungen subtrahieren/ Kugelgleichung subtrahieren

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Con Auf diesen Beitrag antworten »
Ebenengleichungen subtrahieren/ Kugelgleichung subtrahieren
Hallo,

habe schon wieder eine Frage, irgendwie geht bei mir grade alles durcheinander.

1) Was bekommt man, wenn man 2 Kugelgleichungen subtrahiert für Fall a) Kugeln schneiden sich und Fall b) Kugeln schneiden sich nicht Fall c) Kugeln berühren sich
Stimmt es, dass ich für 1a) die Ebene erhalte, auf der der Schnittkreis liegt?
Was passiert dann für 1b) und c)? Es müssten Ebenen entstehen, die b) im Berührpunkt liegt und c) einfach nicht sinnvoll ist, da sie nichts aussagt, was man mit Hilfe der Mittelpunkt-Abstände und Radien beweisen kann.
Stimmt das so?

2) Wenn ich zwei Ebenen in Koordinatengleichung gleichsetze, kann ich keine Geradengleichung berechnen. Was sagt das Ergebnis am Ende aus? Z.B. wenn dort steht: x3=40. Die Schnittgerade kann es gar nicht sein, da diese nicht existiert in Koordinatenform!

Viele Grüße,
Constantin
mathos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ebenengleichungen subtrahieren/ Kugelgleichung subtrahieren
Ein Versuch zu den Ebenen:

Nach dem Gleichsetzen und Umformen erhältst du x_3 = 40?
Wenn du dies in eine der Ebenen einsetzt erhältst du eine Gleichung nur noch mit x_1 und x_2. Diese ergibt zusammen mit der Gleichung x_3 = 40 schon die Schnittgerade.
(Diese besteht im Raum in dieser Form aus beiden Gleichungen.)

Gruß mathos
Con Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

wenn ich das richtig verstanden habe, sollte das bei folgenden Ebenen so aussehen:

E1:x1+x2+x3=0
und E2:x1+2x2+3x3=0

Dann: x1+x2+x3=x1+2x2+3x3
=>x3=x2+3x3
=> -2x3=x2

Wenn ich das in die Ausgangsebene einsetze, habe ich x1-2x3+x3=x1-x3=0
=> x1=x3

Wähle ich also für x3=1, habe ich den Vektor (1 / -2*1=-2 / 1)... richtig? Das würde bedeuten, dass ich einen Punkt als Ebenenschnitt bekomme... Irgendwas hab ich da noch nicht ganz verstanden!

Und was ergibts bei der Kugel? Müsste dann eigentlich auch die Schnittebene ergeben, oder?

Viele Grüße,
Constantin
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

richtig gerechnet, falsch gedacht, schreibst doch selbst vektor smile

schnittgerade



diese geht durch O.

zu den kugeln:
du bekommst hier immer eine ebene mit dem normalenvektor M1M2,
unabhängig davon, ob sich die kugeln schneiden oder nicht, das mußt du getrennt untersuchen Augenzwinkern
Con Auf diesen Beitrag antworten »

Hey und frohes neues Jahr =)

Ah, klingt sehr logisch! Danke!
Als Beispiel habe ich nun einfach mal die eine Ebene E1 verändert, indem ich 2x1 geschrieben habe und -1 subtrahiert hab.

E1:2x1+x2+x3-1=0
und E2:x1+2x2+3x3=0

2x1+x2+x3-1=x1+2x2+3x3=0
x1-2x3-1=x2

das in E1 einsetzen:
2x1+x1-2x3-1+x3-1=0
3x1-x3=2
3x1-2=x3

x1=1
x2=-2
x3=1

Als Vektor ergibt sich: (1/-2/1)
Also dann auch eine Ursprungsgerade?
In welchem Fall würde sich denn keine Ursprungsgerade ergeben?

Viele Grüße,
Constantin
Con Auf diesen Beitrag antworten »

----> Zu den Kugeln: Wenn die Kugeln sich schneiden, erhalte ich dann so auf jeden Fall die Schnittebene zwischen den beiden Kugeln?
 
 
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

die schnittgerade geht sicher nicht durch den ursprung, wenn beide ebenen diesen nicht enthalten smile

wenn sich die kugeln schneiden: Freude
und diese enthalt dann den schnittkreis
ConstantinM Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, dann hab ich das mit den Kugeln schonmal verstanden =)

Bleibt die Frage, was ich als Ergebnis bei den Ebenen bekomme, wenn ich sie gleichsetze/ subtrahiere... ?
Was gibt mir in diesem Fall der Vektor an?
Dass es keine Ursprungsgerade sein kann, ist mir klar!

Viele Grüße,
Constantin
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Was du da beim Gleichsetzen der beiden Ebenengleichungen gemacht hast, ist ziemlicher Mumpitz.

Wenn die Ebenen nicht zufällig identisch oder parallel sind, wissen wir, dass sie sich in einer Geraden schneiden. Der Richtungsvektor dieser Geraden steht senkrecht zu den beiden Normalvektoren der gegebenen Ebenen.
Um zur Parameterform der gesuchten Geraden zu kommen, kann eine der Variablen gleich einem Parameter (t) gesetzt und nach den anderen beiden Variablen aufgelöst werden.

Bleibt die Frage zu klären, was passiert, wenn man nun die beiden Ebenengleichungen gleichsetzt. Nach Vereinfachung erhält man wiederum eine Gleichung in den drei Variablen, woraus ersichtlich ist, dass diese eine neue Ebene darstellt. Sie besitzt die Eigenschaft, dass auch sie durch die Schnittgerade der beiden anderen Ebenen geht.
Setzen wir dieses Spiel mit weiteren Vielfachen der Ebenengleichungen fort, so erhalten wir immer wieder Ebenen, die alle durch die eine und dieselbe Schnittgerade gehen. Die Gesamtzahl dieser nennt man auch Ebenenbüschel (durch eine Gerade g, der Büschelgeraden).
Die Gleichung der Büschelgerade erhältst du so aber noch nicht, da muss auf eine der o.a. Methoden zurückgegriffen werden.

mY+
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