Grenzwert

01.01.2009, 21:38

Felix

Grenzwert

Hallo

Ich komme bei einer Grenzwertaussage nicht weiter :

$\begin{eqnarray*} 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} -+ ... +(-\frac{1}{2})^n \to \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Ich denke das ich zuerst einmal eine Summenformel finden muss, aber genau da liegt das Problem unglücklich

Kann mir jemand weiterhelfen ?

lg

01.01.2009, 21:44

Mathespezialschüler

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Du hast sicher schon einmal was von der geometrischen Reihe gehört.

01.01.2009, 21:58

Felix

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01.01.2009, 22:11

Jacques

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Hallo,

Deine Schreibweise im Anfangsbeitrag ist übrigens nicht korrekt.

Den Ausdruck

$\begin{eqnarray*} 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \ldots + \left( -\frac{1}{2} \right)^n \end{eqnarray*}$

würde man als endliche Summe lesen: Man summiert bis (-1/2)^n.

Du hingegen meinst ja eine Reihe. Du musst also schreiben:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k = 0}^\infty \left(-\frac{1}{2} \right)^k \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \ldots \end{eqnarray*}$

01.01.2009, 22:18

Mathespezialschüler

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@Jacques
Er hat keine Gleichung hingeschrieben, sondern einen Pfeil. Wenn man die linke Seite als Folge $\begin{eqnarray*} (s_n) \end{eqnarray*}$ auffasst (was man zugegebenermaßen, wenn man es genau nimmt, nicht so ohne Weiteres so ansehen muss), dann steht da nichts anderes als die doch sehr übliche Schreibweise $\begin{eqnarray*} s_n\to s \end{eqnarray*}$ .

01.01.2009, 22:35

Jacques

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OK, Du hast Recht, man untersucht also direkt die Partialsummenfolge.

01.01.2009, 22:43

Felix

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Im übrigen beachte man das - + in $\begin{eqnarray*} 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} -+ ... +(-\frac{1}{2})^n \to \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ . Eine Schreibweise die ich direkt aus meinem Mathematikbuch übernommen habe Augenzwinkern

.

lg

01.01.2009, 23:00

Jacques

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Das ist aber wirklich ein formaler Fehler -- was mal wieder zeigt, dass man auch Mathebüchern nicht immer vertrauen darf. Big Laugh

01.01.2009, 23:09

Mathespezialschüler

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Wenn man es mit $\begin{eqnarray*} \mp \end{eqnarray*}$ darstellen würde, dann wäre es ok.

01.01.2009, 23:10

Felix

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Hmm bist du dir da sicher?

Denn es wird ziemlich häufig verwendet (in meinem Buch) - also ist es wohl kein Druckfehler. Wie würde man es ansonsten (ohne Sigma) anschreiben ?

lg

Edit:

Hab das vor der Antwort von MSS Augenzwinkern

geschrieben ...

Edit 2 :

Wo ist der Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} \mp \end{eqnarray*}$ und - + bzw. wer bestimmt was "richtig" und was "falsch" ist ?

01.01.2009, 23:45

Jacques

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Es gibt für einen Ausdruck der Art

$\begin{eqnarray*} a + - b \end{eqnarray*}$

einfach keine sinnvolle Interpretation. Soll gleichzeitig addiert und subtrahiert werden? Das ist nicht möglich. Also es ist zumindest nicht klar, was der Ausdruck bedeutet -- aus diesem Grund ist das ein formaler Fehler.

Im vorliegenden Fall steht das „+-“ offenbar für „+ oder -“, denn die Summanden werden ja abwechselnd addiert und subtrahiert. Allerdings sollte man dann erstens dem Vorschlag von Mathespezialschüler folgen und das offizielle Zeichen $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ benutzen. Und zweitens ist -- zumindest aus meiner Sicht -- das Zeichen an der falschen Stelle, denn nach + 1/4 folgt ja in jedem Fall - 1/8. Das +/- sollte vielmehr vor dem (1/2)^n stehen.

Die Schreibweise wäre dann

$\begin{eqnarray*} 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \ldots \pm \left( \frac{1}{2} \right)^n \end{eqnarray*}$

für die n-te Partialsumme der Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k = 0}^\infty \left(-\frac{1}{2} \right)^k \end{eqnarray*}$

01.01.2009, 23:54

Mazze

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Zitat:

Es gibt für einen Ausdruck der Art $\begin{eqnarray*} a + - b \end{eqnarray*}$ einfach keine sinnvolle Interpretation. Soll gleichzeitig addiert und subtrahiert werden

Es ist doch a - b nur eine verkürzte Schreibweise für die Addition von a mit dem, bezüglich der Addition, inversen Element von b. Das Minuszeichen als solches wird zuerst eingeführt um das inverse Element zu bezeichnen. Daher wäre völlig formal korrekt wirklich a + -b zu schreiben. In den Körperaxiomen wird das Minuszeichen ja auch nur mit dem inversen Element eingeführt. Die Körperaxiome kennen keine Binäre Verknüpfung die - heisst.

Allerdings ist Notation nicht zwingend einheitlich, daher wäre die Interpretation + oder - natürlich auch denkbar.

02.01.2009, 12:19

Felix

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Zitat:

Original von Mazze
Allerdings ist Notation nicht zwingend einheitlich, daher wäre die Interpretation + oder - natürlich auch denkbar.

Darauf wollte ich hinaus Augenzwinkern

Denn in meinem Buch wird z.B. $\begin{eqnarray*} a + (-b) := a - b \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} a + - b := a - b \end{eqnarray*}$ definiert, daher kann es also auch wieder keine Verwechslungen geben ...

Für die Zukunft werde ich meine Schreibweise hier im Matheboard natürlich anpassen Augenzwinkern

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