Ableitung u. Integral eines Polynomraumes

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Sandara Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung u. Integral eines Polynomraumes
HiWink

erstmal allen noch ein gutes, neues Jahr!

Ich habe mal wieder eine Aufgabe, bei der ich nicht weiß, was genau gefordert ist, bzw. wo ich darüber Infos finde *seufz*

Die Aufgabe lautet:

Sei der Raum der Polynome vom Grad kleiner gleich n. Die Ableitung und das Integral induzieren lineare Abb.





Bestimmen Sie die zugehörigen Matrizen bzgl. der Basen , bzw. .

Ich habe jetzt drei Bücher durchgestöbert, aber der Polynomraum wird etwas stiefmütterlich behandelt. Dann bin ich im INternet auf Bernsteinpolynome gestoßen, die mit Integralen zu tun haben. Bin ich da richtig?

Die Monombasis hatten wir in den Übungen auf dem letzten Blatt und die Matrizen sind ja die, die ich bilden muss in Bezug auf die Basen?!

Mir fehlt im Moment die Richtungverwirrt

Viele Grüße
Sandra

PS: Gehört der Beitrag eher in die Analysis?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung u. Integral eines Polynomraumes
Nein, kannst du hier lassen. http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#...um_der_Polynome

Du sollst nun einfach die linearitet der Abbildung "Integral" und "Ableitungen" zeigen, also die zugehörige Matrix angeben.

Für einen Vektorraum brauchen wir auch eine Basis. Logo. Und da sind dir hier zwei Monombasen angegeben.

Nun musst du dich nur noch an die Potenzregel erinnern, und dann ist das eigentlich auch schon alles

Bsp:



Wie lauten Ableitungen und Stammfunktion? Welche Koordinaten hat f bzgl. der Monombasis?
Sandara Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Tigerbiene,

dank dir für deine Antwort:-)

Da werde ich mich jetzt mal ranmachen....

Lg
Sandra
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Dann mal los. Wink
Sandara Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt Es ist ja nicht so, dass man die Leitung sucht, auf der man wohl sitzt....

Ich geh mal auf dein Beispiel ein:



Dann ist die Ableitung und die Stammfkt. .

Laut Wiki ist es so definiert:

Zitat:
Sind V und W endlichdimensionale Vektorräume, kann jede lineare Abbildung durch eine Matrix dargestellt werden. Deren Einträge hängen neben der Abbildung f nur von je einer frei wählbaren Basis von V und von W ab.


So.....wenn ich auf mein Bsp. gehe, dann kann ich eine Abb.-Matrix angeben, deren Spaltenvektoren ein verschieden Vielfaches der Monombasis ist?!



Die Basis des wäre dann die lin. unab. Vielfache von ?

Nehme ich einfach nochmal dein Beispiel und hätte dann die Stammfunktion als f(x) und f(x) würde dann f'(x)?

Meine Abb.-Matrix, wie stelle ich mir die vor? Normalerweise nimmt man die Basisvektoren als Spaltenvektoren der Abb.-Matrix. Ich weiß, dass der Vektorraum des die Dimension 3 hat? D.h. dass ich 3 Basisvektoren benötige?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

ROFL Der Spruch mit der Leitung ist gut.

Bleiben wir konkret. Mit der Brille der Analysis:







Nun wechseln wir auf die rosarota LinABrille. Dann sind F,f,f' Vektoren des , zu dem wir uns die Monombasis 1,x,x²,x³ aussuchen. Vektoren gibt man in ihrer Koordinaten bzgl. einer Basis an (wenn man sie denn konkret angeben will). Wir







Das macht dann:








Sinn der Aufgabe ist es nun, sich die Linearität der Abbildungen: Ableiten und Integrieren konkret mit Polynomen klar zu machen. Das es generell so ist, würde man nicht über Matrizen, sondern über die Definition der lin.Abbildung nachweisen. Intuitiv benutzt du diese Eigenschaften bestimmt schon lange.

Gehen wir nun einen Schritt allgemeiner.





A sei nun die Ableitungsmatrix. Dann muss gelten





Wie sieht nun also die Matrix aus?
 
 
Sandara Auf diesen Beitrag antworten »



Stimmt das?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
Sandara Auf diesen Beitrag antworten »

AaaaahIdee!

Das Gleiche geht dann auch in die andere Richtung für die Monombasis 1,x,x²?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

So, die Idee hinter der Aufgabe hast du nun wohl verstanden. Nun müssen wir aber auf die genaue Aufgabenstellung deiner Übung eingehen.

Zitat:


Sei der Raum der Polynome vom Grad kleiner gleich n. Die Ableitung und das Integral induzieren lineare Abb.





Bestimmen Sie die zugehörigen Matrizen bzgl. der Basen , bzw. .


Die Matrizen sind hier nun nicht mehr quadratisch. Aber die Idee bleibt.
Sandara Auf diesen Beitrag antworten »

, d.h. vom dreidimensionalen in den zweidimensionalen Raum, was bei der Ableitung ja passiert.

D.h.

(zum Bsp.)





verwirrt
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, denn nun hast du ja doch wieder einen 3D Vektor angegeben. Augenzwinkern

Welchen Basisvektor kannst du denn weglassen. Idee!
Sandara Auf diesen Beitrag antworten »

2D - stimmt Finger1 dann ist das klar mal falsch gewesen...

Welchen Basisvektor ich weglassen kann?? Mh....da müsste ich raten, weil ich spontan an den Einheitsvektor denke...denn der Nullvektor ist zwar l.u., aber macht der Sinn?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein nein.... Bleiben wir bei deinem Beispiel. Das linke Polynom lebt im , der dreidimensional ist. Leiten wir es ab, so erhalten wir:



Das rechte liegt sicherlich auch im , aber es liegt auch in einem kleineren Unterraum, dem . Gibt es nun ein Polynom, dass hier nach dem Ableiten nicht im liegt?
Sandara Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich etwas mit x² ableite, bin ich nicht immer im Unterraum ? Wenn ich dann etwas aus dem ableite, fall ich dann raus?

Meinst du, wenn ich aus dem ableite, das ich dann nicht mehr im bin? Sobald ich einen Koeffizienten-Wert > 0 habe, fall ich doch beim Ableiten nicht mehr raus...

Zu den Polynomen gehören aber nur die gängigen Polynome mit einem Grad n verwirrt
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ich meine, dass in einer Ableitung von einen quadratischen Polynoms nie wieder x² auftaucht. Augenzwinkern
Sandara Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tigerbiene: Nein, ich meine, dass in einer Ableitung von einen quadratischen Polynoms nie wieder x² auftaucht


Erfüllt das nicht jede Gleichung mit dem höchsten Grad n=2?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte, dass sich die dimension des Zielraums doch reduzieren lässt. so ist es in der Aufgabe doch auch gefordert.


Sandara Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich glaube, ich versteh es nicht verwirrt

Ich weiß ja, was passiert, wenn ich ableite (so vom Gym-Niveau her) und ich reduziere den Grad der Gleichung um 1.

Aber wie passt das nun zusammen?

Gehe ich auf deine ursprüngliche Frage zurück:

Zitat:
Gibt es nun ein Polynom, dass hier nach dem Ableiten nicht im liegt?

Dann würde ich sagen: Nein, das gibt es nicht, aber deshalb, weil ich von dem Polynom zweiten Grades ausgehe.

Aber ich glaube, ich hab´s nicht verstanden und möchte es aber so gern verstehen traurig
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein ist richtig. Und deswegen können wir einen UVR angeben, in dem die Ableitungen sind. Wir sparen uns also eine 0 im Vektor. (Du würdest das bei einer Ableitung ja auch nicht 0x² hinschrieben)





Und Variante 2 war in der Aufgabenstellung gefordert.
Sandara Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, das hab ich jetzt einige Male gedacht, aber gedacht, das wäre zu einfach.....

Die Ab- und Aufleitung, um die geht´s hauptsächlich.

Und wie schreibe ich das bzgl. der Monombasen? Die zugehörigen Matrizen sind dann ein Spaltenvektor?

Das wird doch nicht so sein:



Das wäre nur irgendwie die Monombasis reingewurschtelt, oder?

Ich sage dir meine Gedanken dazu: Ich habe den Raum und ich weiß, dass die Monombasis {x²,x,1} die Dimension 3 hat. Dann wäre dies die allgemeine Basis des Polynom-VR, hätte ich mal gesagt.

*etwasverwirrtbin*
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Sei der Raum der Polynome vom Grad kleiner gleich n. Die Ableitung und das Integral induzieren lineare Abb.





Bestimmen Sie die zugehörigen Matrizen bzgl. der Basen , bzw. .


Wholy sh***. Die T-Aktien sind echt im Keller bei dir...

Wir haben hier im ersten Fall als Definitionsraums den Pi3. Und die MonomBasis B3 = {1,x,x²}. Jedes Element läßt sich also auch diesen linar kombinieren. Um nun eine Matrix schreiben zu können, brauchen wir koordinaten. Naja, das machen wir wie immer. Unsere Basis lautet dann (mit dem höchten! beginnen)



Unser Zielraum ist der Pi2, den wir auch mit einer Monombasis ausstatten. Auch die bekommt Koordinaten



Nun ist es hier recht einfach, die Bilder der Basisvektoren zu bestimmen:







Wie sieht nun die zugehörige Matrix aus?

Sandara Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Wholy sh***. Die T-Aktien sind echt im Keller bei dir...

Erstaunt2

Okay, das hab ich verstanden und dann mach ich mich morgen früh da nochmal ran...

PS:

Meine Kids kamen leichter zur Welt Augenzwinkern
Sandara Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab das mal mit dem Integral gemacht:



Basis bzgl. Monombasis {1,x}:



Basis bzgl. Monombasis {1,x,x²}:



Dann bekomme ich:





Ansonsten hätte ich die Matrix , in der Hoffnung, dass es stimmt und ich niemanden weiterhin quälen muss mit meiner Unsicherheit Ups

Ich hab aber doch noch ne Frage:

Wir haben ja gesagt, dass der Raum der Ableitungen einen UVR von den Funktionen bildet. Bei den Aufleitungen ist das doch andersrum? Also sind die Funktionen UVR von dem Raum der Stammfkt.?
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