Frage zu Basis-und-Dimension-Aufgabe

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MMel Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zu Basis-und-Dimension-Aufgabe
Hallo,
ich habe eine Frage zur folgenden Aufgabe:

und beides

Ich soll jetzt die Dimension und eine Basis von angeben.

Mein Ansatz ist folgender:


Ich habe dieses LGS gelöst und folgendes Ergebnis erhalten:




Jetzt habe ich diese drei Gleichungen jeweils nach 0 umgestellt und daraus eine neue Matrix erstellt. Das kann aber ja so nicht funktionieren, weil ich dann Vektoren aus habe, obwohl es hierbei ja nur um geht.

Ich habe nun den Tipp bekommen in einzusetzen. Das habe ich gemacht und herausbekommen.

Dazu meine Fragen:
Warum muss ich das so machen und was genau krieg ich dann raus? Ist der Vektor jetzt schon meine Basis? Ich glaube ja, aber warum? Warum muss ich die rechte Seite der oben stehenden Gleichung nicht mehr berücksichtigen?
Wenn ich für das b 3 einsetze erhalte ich ja meinen ersten Vektor aus U....warum? Und hätte ich das alles auch einfacher feststellen können?
Meine Dimension ist doch dann 1, oder? Also wenn das jetzt wirklich schon die Basis ist.

Vielen Dank für eure Hilfe schon im Vorraus!
Zellerli Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Gleichung

Zitat:


Ist Unsinn, weil im zweiten Gleichungsteil links ein Vektor und rechts ein Skalar steht. Bitte überprüfe das nochmal!
 
 
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zu Basis-und-Dimension-Aufgabe


Der Lösungsraum dieses LGS ist die Basis.

mfg
MMel Auf diesen Beitrag antworten »

@ zellerli:

Das ist nicht eine sondern 2 Gleichungen. die erste Gleichung geht bis zum zweiten Vektor und die zweite beginnt direkt dahinter, also beim a. Sorry, ich habs nicht hingekriegt die weiter auseinander zu schreiben, die Leerzeichen wurden nicht übertragen.


@ eierkopf1:
Das habe ich ja gemacht, aber dann bekomme ich doch Vektoren aus dem R^5 raus, oder??? verwirrt
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

@Basis und Vektoren aus R^5

Rechne bitte vor, sonst kann ich nicht sagen, wo der Fehler ist.
Und es ist natürlich nicht möglich, dass der Druchschnitt zweier Vektorräume des R^4 im R^5 liegt.
MMel Auf diesen Beitrag antworten »

ok, also ich habe folgendes gerechnet...wobei ich mir mittlerweile ziemlich sicher bin, dass ich da irgendwo einen Denkfehler habe:

Ich habe das LGS gelöst und folgendes Ergebnis bekommen:







Jetzt habe ich alle diese Gleichungen nach 0 umgestellt, also:







Daraus habe ich dann....ich weiß selbst nicht mehr warum, wahrscheinlich weil ich keine bessere Idee hatte.....eine Matrix erstellt:



Ich habe dann die Zeilenvektoren als Basis genommen, aber diese sind ja aus R^5...außerdem kommt mir das alles etwas komisch und nicht wirklich richtig vor, ich weiß nur nicht was ich mit meiner Lösung des LGS anfangen soll....

Danke schonmal
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zu Basis-und-Dimension-Aufgabe
Ich habe selbst gerade irgendwo einen kleinen Denkfehler:

Aber so müsste es gehen:

Das auf Null umformen


Dann eine Koeffizientenmatrix (nennen wir sie A) bilden und das LGS damit lösen.

Mein Problem dazu ist: Ich bekomme als Lösungsraum auch einen Vektor des R^5. Das ist auch klar, da die Matrix A 5 Spalten hat und es gilt: Ax=0.

Irgendwo habe ich einen Denkfehler drinnen verwirrt

Vielleicht weiß jemand anderer etwas dazu?

mfg
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zu Basis-und-Dimension-Aufgabe
Zitat:
Original von MMel
Ich habe dann die Zeilenvektoren als Basis genommen, aber diese sind ja aus R^5.

Das bringt nichts. Du brauchst den Kern der Matrix (sofern diese überhaupt richtig aufgestellt ist).

Zitat:
Original von MMel
außerdem kommt mir das alles etwas komisch und nicht wirklich richtig vor, ich weiß nur nicht was ich mit meiner Lösung des LGS anfangen soll....

Siehe unten.

Zitat:
Original von eierkopf1
Mein Problem dazu ist: Ich bekomme als Lösungsraum auch einen Vektor des R^5. Das ist auch klar, da die Matrix A 5 Spalten hat und es gilt: Ax=0.

Irgendwo habe ich einen Denkfehler drinnen verwirrt

Logischerweise bekommt man 5-komponentige Lösungen, da diese Vektoren den Koeffizienten x, y, z, a und b entsprechen.

U geschnitten V wird nun aufgespannt von den Vektoren



wobei i dem i-ten Lösungsvektor entspricht. Von diesen vektoren mußt du noch eine Basis bestimmen.
MMel Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir Leid, aber ich verstehe nicht genau was du meinst.
Warum wird U geschnitten V jetzt nur von den Vektoren aus U aufgespannt?

Meinst du, damit, dass ich den kern berechnen muss, dass ich die Gleichung x*v1+y*v2+z*v3-a*v4-b*v5=0 lösen muss (Wobei v1, v2, v3 die Vektoren aus U sind und v4, v5 aus V)?
Das habe ich ja gemacht aber mit der Lösung von x, y, z, a und b komm ich ja jetzt nicht weiter.... unglücklich

Danke für die Hilfe
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MMel
Warum wird U geschnitten V jetzt nur von den Vektoren aus U aufgespannt?

U geschnitten V ist eine Teilmenge von U (natürlich auch von V). Also wird die Schnittmenge von einer Teilmenge der Basisvektoren von U aufgespannt.

Zitat:
Original von MMel
Das habe ich ja gemacht aber mit der Lösung von x, y, z, a und b komm ich ja jetzt nicht weiter.... unglücklich

Siehe meinen vorigen Beitrag.
MMel Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt folgenden Lösungsansatz:

Da ja nur der erste und der dritte Vektor aus U U aufspannen, reicht es doch, nur diese beiden Vektoren zu verwenden, oder?
Also dann so:


Dann bekomme ich auch eine sinnvolle Lösung:


Allerdings sollte nach unserer Lösung der Vektor rauskommen. Die Rechnung und die Lösung des LGS ist genau das selbe, aber wie kommen die auf den anderen Vektor???

Vielen Dank
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MMel
Da ja nur der erste und der dritte Vektor aus U U aufspannen

Wieso? Ich sehe nicht, daß die Vektoren, linear abhängig sind.
MMel Auf diesen Beitrag antworten »

geschockt Oh...ich sehe gerade ich habe einen Tipfehler:
Der erste Vektor ist
Tut mir Leid....aber jetzt müsste es doch gehen, oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MMel


Dann bekomme ich auch eine sinnvolle Lösung:


Was soll der Faktor a vor der Lösung? Du hast die Variable a schon für das Gleichungssystem vergeben.

Eine Lösung des GLS ist also:

Zitat:
Original von MMel
Allerdings sollte nach unserer Lösung der Vektor rauskommen. Die Rechnung und die Lösung des LGS ist genau das selbe, aber wie kommen die auf den anderen Vektor???

Welchen anderen Vektor? Die ersten beiden Komponenten der Lösung geben dir die Linearfaktoren bezüglich der gewählten Basis von U an. Das führt zu dem Vektor , der damit die Basis von U geschnitten V darstellt.
MMel Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe folgendes LGS gelöst:






Meine Lösung:




Ich habe also eine Allgemeine Lösung:

Ist das jetzt eine Basis von U geschnitten V?

Mit dem "anderen" Vektor meinte ich den Vektor
Könntest du mir nochmal erklären, warum gerade dieser Vektor eine Basis von Ugeschnitten V ist? Das habe ich noch nicht so wirklich verstanden.

Lieben Dank!!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MMel
Ist das jetzt eine Basis von U geschnitten V?

Nein. Wiso denn auch? ist die allgemeine Lösung deines GLS:






Wir erinnern uns, daß dieses GLS ursprünglich aus dem folgenden Ansatz stammt:



Wenn wir jetzt also a = 1 wählen, dann ist offensichtlich:



Also ist ein Element von U geschnitten V. Weitere davon linear unabhängige Elemente gibt es nicht. Also ist dieser Vektor eine Basis von U geschnitten V.
MMel Auf diesen Beitrag antworten »

smile Juhu...danke, jetzt hab ichs verstanden!! Ist ja eigentlich auch ganz logisch! Augenzwinkern
MMel Auf diesen Beitrag antworten »

Doch noch eine Frage:

Warum ist unser Basisvektor?
Warum nicht die anderen Beiden? Schließlich erzeugen sie ja und eine Basis ist doch ein lin unabhängiges Erzeugendensystem... aber die Vektoren und werden ja zb nicht von erzeugt. Oder gehören diese nicht zu U geschnitten W? Wenn ja warum nicht?

Ganz lieben Dank für deine Antworten... Freude
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht doch darum, linear unabhängige Vektoren zu finden, die sowohl in U als auch in V liegen. Offensichtlich ist das für der Fall. Gemäß der Lösung des GLS könnte man auch den Vektor nehmen, was aber auf das gleiche rauskommt. Es sind aber weder noch in U geschnitten V, da diese sich nicht aus den Vektoren von U darstellen lassen.
MMel Auf diesen Beitrag antworten »

Ok...jetzt hab ichs aber wirklich verstanden...ganz lieben Dank nochmal für deine Hilfe
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