Partielle DGL 1. Ordnung mit Bernoulli-Ansatz

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Lasse Reinboeng Auf diesen Beitrag antworten »
Partielle DGL 1. Ordnung mit Bernoulli-Ansatz
Kann mir jemand erklären, wie man folgende partielle DGL mit Hilfe des Produkt- / Serparationsansatzes von Bernoulli lösen kann?

(habs Seminar verpasst, musste arbeiten *schäm*)

f(x,t)

df/dx - 1/t * df/dt = 0

Läuft das vom Prinzip her ab wie die Trennung der Variablen?

Ich danke schonmal im voraus für alle Antworten.
Mario Auf diesen Beitrag antworten »

Mit der Trennung der Variablen kannst Du bestenfalls die Details verarbeiten.
Ansatz ist sowas wie f(x,t)=T(t)*X(x). Ich schick Dir am besten mal nen Link mit ner Beispielaufgabe zweiter Ordnung; vielleicht kannst Du ja was anpassen.

http://www.math.tu-dresden.de/~hinze/Mas...sterloesung.pdf

Bist Du sicher, dass Du nicht Gebiet und Randwerte unterschlagen hast?

Liebe Grüße
Mario

EDIT: Smilie deaktiviert. (Irrlicht)
Lasse Reinboeng Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke mal das läuft auf eine allgemeine Lösung raus.... sprich unbestimmtes Integral, denn es sind wirklich keine Anfangs / Randwerte gegeben.

Ich versuchs mal anhand der Musterlösung

df/dx - 1/t * df/dt = 0

-> df/dx = 1/t * df/dt

Mit f(x,t) = g(x) * h(t) ergäbe sich

g'(x) * h(t) = 1/t * h'(t) * g(x)

der Separationsansatz ergäbe

g'(x) / g(x) = 1/t * h'(t) / h(x)

Und nu? Weiss immernoch ned worauf das ganze hinauslaufen soll ... seufz
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe zugegebenermasse keine Ahnung, wie man drauf kommt, aber ich kann euch diesen Ansatz geben:
f(x,t) = g(x + c1 t^2).

Wenn ich naemlich diese Funktion nach t ableite, bekomme ich ein t ausserhalb, das sich mit dem 1/t kuerzt.
Mario Auf diesen Beitrag antworten »

Auf Deinen Ansatz kommt man vermutlich mit der Charakteristikenmethode.
Man findet eine spezielle Lösung diesen Typs über den Separationsansatz
(war das wirklich vorgegeben?) wie oben.

Die letzte Gleichung gilt für jedes x und y, woraus folgt, dass diese
beiden Quotienten konstant sein müssen (einfach wahlweise x oder t festhalten).Bezeichne diese Konstante mit k.

Dies führt auf 2 lin.gew. Dgl. 1.Ordn für g und h, deren Lösungen sich berechnen gemäß

g(x)=a* e^(cx) ,
h(t)=b*e^(1/2*c*t^2).

Insgesamt also nach Reskalierung der Konstanten

f(x,t)=g(x)f(t)=C*e^(c(x+1/2t^2)). (c,C \in IR).

Was man damit lernt ist, dass es noch andere Lösungen geben muss,
die sich jedoch nicht in separierter Form darstellen lassen, denn in
dem Ansatz von Sir Jective ist ja g nur diffbar vorauszusetzen.
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte noch die Idee, statt einer Produktzerlegung eine Summenzerlegung zu wählen:
f(x,t) = g(x) + h(t).

Damit kommt man auf g(x) = a*x + b, h(t) = c*t^2 + d, mit noch geeignet zu wählenden Konstanten. Im Endeffekt erhält man die spezielle Lösung f(x,t) = a*(x + t^2/2) + c.

Ja, es gibt offenbar sehr viele verschiedene Loesungen. Das sieht man ja auch an meinem ersten Ansatz (den maple mir verraten hat).
 
 
Lasse Reinboeng Auf diesen Beitrag antworten »

So, das ganze hat sich jetzt wie folgt geklärt:

f=f(x,t)

df/dx - 1/t * df/dt = 0

f(x,t)= X(x)*T(t) (Bernoulli-Ansatz)

df/dx = X'(x) * T(x)
df/dt = T'(t) * X(x)

eingesetzt in die gleichung ergibt das

X'(x) * T = 1/t * T'(t) * X(x)

Separation ergibt

X'(x)/X(x) = 1/t * T'(t)/T(t)

aus X'(x) = dX(x)/dx und T'(t) = dT(t)/dt ergibt sich wiederum:

dX(x)/dx * 1/X(x) = 1/t * dT(t)/dt * 1/T(t) = const.

Jetzt führt man eine Sparationskonstante k ein:

dX(x)/dx * 1/X = k

X'(x) = kX

X' - kX = 0 lineare DGL. mit konst. Koeff. 1. Ordnung

e^\lambda Ansatz:

X(x) = A*e^kx

Das ganze für T:

1/t * dT(t)/dt * 1/T(t) = k Trennung der Variablen

1/T(t) * dT(t) = kt * dt Integration auf beiden Seiten

lnT(t) = 1/2kt^2 + B (Integrationskonstanten auf beiden seiten zu B zusammmengefasst)

T(t) = B*e^1/2kt

X(x) * T(t) = AB*e^k(1/2t+x) = f(x,t)
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