Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion

02.01.2009, 19:02

Arianne20

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Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion

Die Aufgabe lautet:

a) Für alle $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R_+ \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} e^x-1\geq x\cdot e^\frac{x}{2} \end{eqnarray*}$

b) Es ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}=1 \end{eqnarray*}$ und es gibt ein $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ , so dass für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x-1|<\epsilon \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(x-1)<\ln(x)<\frac{3}{2}(x-1) \end{eqnarray*}$

Hmm ich weiß nicht so recht wie ich die erste Ungleichung zeigen soll:

Habe mir gedacht ich fange so an:

Es gilt: $\begin{eqnarray*} e^\frac{x}{2}=e^\frac{x}{2} \end{eqnarray*}$

Darf ich das jetzt annehmen?

Wegen $\begin{eqnarray*} e^\frac{x}{2}>x \Rightarrow e^x> x\cdot e^\frac{x}{2}\Rightarrow e^x-1\geq x\cdot e^\frac{x}{2} \end{eqnarray*}$

Ja das wäre so meine Idee... zur b) fällt mir nicht viel ein. Da bräuchte ich einen Ansatz.

02.01.2009, 19:12

tmo

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Zur a)

Definiere $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} f(x) := e^x-1-xe^{\frac{x}{2}} \end{eqnarray*}$ .

Es ist $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ . Zu zeigen ist $\begin{eqnarray*} f'(x) \geq 0 \end{eqnarray*}$ , woraus die Behauptung folgen würde.

02.01.2009, 19:22

Arianne20

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$\begin{eqnarray*} f'(x)=e^x-\frac{1}{2}xe^\frac{x}{2}-e^\frac{x}{2}=e^x-e^\frac{x}{2}\cdot \left(\frac{1}{2}x+1\right)=e^\frac{x}{2}\cdot (e^\frac{x}{2}-\frac{1}{2}x-1) \end{eqnarray*}$

Wie zeige ich nun dass $\begin{eqnarray*} f'(x)\geq 0 \end{eqnarray*}$ ist?
Ich müsste irgendwie zeigen, dass $\begin{eqnarray*} e^\frac{x}{2}\geq 0 \end{eqnarray*}$ ist, aber wie?

02.01.2009, 19:24

tmo

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Die Ableitung ist richtig und damit ist das eigentlich erledigt, wenn man noch schnell eine sehr bekannte Abschätzung über die Exponentialfunktion zitiert.

Die Frage wundert mich jedoch geschockt

geschockt

Zitat:

Original von Arianne20
Ich müsste irgendwie zeigen, dass $\begin{eqnarray*} e^\frac{x}{2}\geq 0 \end{eqnarray*}$ ist, aber wie?

02.01.2009, 19:30

Arianne20

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Sorry, ich meinte ich muss zeigen, dass $\begin{eqnarray*} e^\frac{x}{2}\geq \frac{1}{2}x+1 \end{eqnarray*}$ . Dann wäre es gezeigt.
Kannst du diese Abschätzung Mal nennen?

Und tmo, in deinem ersten Beitrag hast du geschrieben. Es gilt $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ und ich soll zeigen dass $\begin{eqnarray*} f'(x)\geq 0 \end{eqnarray*}$ . Kannst du kurz erläutern, wieso hieraus die Behauptung folgt?

02.01.2009, 19:32

tmo

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Zitat:

Original von Arianne20
Sorry, ich meinte ich muss zeigen, dass $\begin{eqnarray*} e^\frac{x}{2}\geq \frac{1}{2}x+1 \end{eqnarray*}$ . Dann wäre es gezeigt.
Kannst du diese Abschätzung Mal nennen?

Setze mal $\begin{eqnarray*} \frac{x}{2} = u \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Arianne20
Und tmo, in deinem ersten Beitrag hast du geschrieben. Es gilt $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ und ich soll zeigen dass $\begin{eqnarray*} f'(x)\geq 0 \end{eqnarray*}$ . Kannst du kurz erläutern, wieso hieraus die Behauptung folgt?

Mal anschaulich: Was beschreibt nochmal die Ableitung?

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02.01.2009, 19:37

Arianne20

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Stimmt es gilt:

$\begin{eqnarray*} e^u=1+u+\frac{u^2}{2}+...>1+u \end{eqnarray*}$

Die Ableitung beschreibt anschaulich gesehen die Steigung.
Wir wissen, dass die Steigung, der linken Seite der Ungleichung größer gleich der rechten Seite der Ungleichung ist.
Das gilt für alle x aus dem Definitionsbereich. Mit $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ wissen wir, dass die linke Seite der Ungleichung immer größer gleich der rechten Seite der Ungleichung ist.

Stimmts?

02.01.2009, 19:47

tmo

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Zitat:

Original von Arianne20
Stimmt es gilt:

$\begin{eqnarray*} e^u=1+u+\frac{u^2}{2}+...>1+u \end{eqnarray*}$

Ja für positive u (und solche haben wir ja hier) reicht das schon.

Zitat:

Original von Arianne20
Die Ableitung beschreibt anschaulich gesehen die Steigung.
Wir wissen, dass die Steigung, der linken Seite der Ungleichung größer gleich der rechten Seite der Ungleichung ist.
Das gilt für alle x aus dem Definitionsbereich. Mit $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ wissen wir, dass die linke Seite der Ungleichung immer größer gleich der rechten Seite der Ungleichung ist.

Stimmts?

Naja irgendwie nicht ganz Klartext. Zu zeigen ist ja $\begin{eqnarray*} f(x) \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Und da die Steigung immer postiv ist, ist $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ wohl auch größergleich $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ für postive x.

Oder als präziser Beweis mit dem Mittelwertsatz: Ein postives a mit f(a)<0 würde mit dem Mittelwertsatz direkt zum Widerspruch führen, denn dann existiert ein $\begin{eqnarray*} \xi \in (0,a) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f'(\xi) = \frac{f(a)}{a} < 0 \end{eqnarray*}$

02.01.2009, 19:52

Arianne20

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Dankeschön, sehr gut erklärt smile

smile

Weißt du denn auch einen Tipp zu b?

Wir haben in der Vorlesung L'hopital noch nicht gemacht, sonst hätte ich es damit versucht.

02.01.2009, 19:54

tmo

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Darfst du denn $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ benutzen?

02.01.2009, 20:02

Arianne20

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Das darf ich benutzen. Kann ich denn was damit anfangen?

02.01.2009, 20:03

tmo

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Ja. Betrachte mal zu $\begin{eqnarray*} f(x) = \ln (1+x) \end{eqnarray*}$ den Differentialquotienten an einer geeigneten Stelle.

02.01.2009, 20:09

Arianne

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Der Differentialquotient dazu sieht folgendermaßen aus:

$\begin{eqnarray*} \lim_{s \to 0} \frac{f(x+s)-f(x)}{s}=\lim_{s \to 0} \frac{\ln(1+x+s)-\ln(1+x)}{s} \end{eqnarray*}$

Was wäre denn jetzt eine geeignete Stelle?
$\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ?

02.01.2009, 20:29

tmo

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Probier es doch aus Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.01.2009, 20:38

Arianne20

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$\begin{eqnarray*} \lim_{s \to 0} \frac{f(0+s)-f(0)}{s}=\lim_{s \to 0} \frac{\ln(1+s)-\ln(1)}{s}=\lim_{s \to 0} \frac{\ln(1+s)}{s} \end{eqnarray*}$

Aber jetzt stehe ich wieder bei dem gleichen Problem verwirrt

verwirrt

02.01.2009, 20:43

tmo

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Aber du kennst doch den Wert des Differentialquotienten....

02.01.2009, 20:46

Arianne20

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Oh mann, irgendwie scheint es einfach zu sein und ich weiß trotzdem nicht genau worauf du hinaus willst.
Was kann ich denn jetzt damit anfangen?

02.01.2009, 20:48

tmo

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Zitat:

Original von tmo
Darfst du denn $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ benutzen?

Warum hab ich dich das wohl gefragt?

Übrigens ist damit dann $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} \ln (1+x) = \frac{1}{1+x} \end{eqnarray*}$ .

Welche Bedeutung hatte noch mal der Differentialquotient?

02.01.2009, 20:53

Arianne20

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$\begin{eqnarray*} \lim_{s \to 0} \frac{f(0+s)-f(0)}{s}=\lim_{s \to 0} \frac{\ln(1+s)-\ln(1)}{s}=\lim_{s \to 0} \frac{\ln(1+s)}{s}=\frac{1}{1+0}=1 \end{eqnarray*}$

Das wolltest du damit zeigen oder?

Der Differentialquotient nähert die Sekante zu einer Tangente an.

02.01.2009, 20:54

tmo

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Zitat:

Original von Arianne20
$\begin{eqnarray*} \lim_{s \to 0} \frac{f(0+s)-f(0)}{s}=\lim_{s \to 0} \frac{\ln(1+s)-\ln(1)}{s}=\lim_{s \to 0} \frac{\ln(1+s)}{s}=\frac{1}{1+0}=1 \end{eqnarray*}$

Damit es auch als Beweis durchgeht, sollte man es schon andersrum schreiben:

$\begin{eqnarray*} 1=\frac{1}{1+0}=\lim_{s \to 0} \frac{f(0+s)-f(0)}{s}=\lim_{s \to 0} \frac{\ln(1+s)-\ln(1)}{s}=\lim_{s \to 0} \frac{\ln(1+s)}{s} \end{eqnarray*}$

Natürlich auch noch erwähnen, dass du $\begin{eqnarray*} f(x) = \ln (1+x) \end{eqnarray*}$ betrachtest.

02.01.2009, 20:57

Arianne20

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Woow ich frage mich wie du auf sowas gekommen bist, mein Respekt.

Nun wäre noch die letzte Teilaufgabe zu machen. Hast du da einen Ansatz für mich?

02.01.2009, 21:01

tmo

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Das ist nur eine kleine Folgerung aus dem Grenzwert.

Wegen $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\ln (1+x)}{x} = 1 \end{eqnarray*}$ ist auch $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1} = 1 \end{eqnarray*}$ .

Wende nun die Definition des Grenzwertes an.

02.01.2009, 21:10

Arianne20

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Nun die Definition lautet doch folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon >0 \exists \delta(\epsilon) >0 \end{eqnarray*}$ so dass gilt: Für alle $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x-1|<\delta(\epsilon) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(1)|<\epsilon \end{eqnarray*}$ .

Ich hoffe ich habe nichts verkehrt gemacht verwirrt

verwirrt

Nun was mache ich denn jetzt damit?

02.01.2009, 21:12

tmo

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Wie solltest du denn hier wohl $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ wählen?

02.01.2009, 21:16

Arianne20

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$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{\ln(x)}{x-1} \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

Tut mir leid, aber das Epsilon-Delta-Kriterium ist meine absolute Schwachstelle. unglücklich

unglücklich

02.01.2009, 21:20

tmo

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Erstmal habe ich einen Fehler gefunden.

Es muss so lauten:

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon >0 \exists \delta(\epsilon) >0 \end{eqnarray*}$ so dass gilt: Für alle $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x-1|<\delta(\epsilon) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} |f(x)-g|<\epsilon \end{eqnarray*}$

Wobei hier $\begin{eqnarray*} g=1 \end{eqnarray*}$ ist.

Ja, genau so musst du $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ wählen. Wähle $\begin{eqnarray*} \varepsilon = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ist in diesem Fall $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ . Das ist wohl die Schwierigkeit, die hinter der Aufgabe stecken soll verwirrt

verwirrt

02.01.2009, 21:32

Arianne20

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Sei nun $\begin{eqnarray*} \epsilon=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , dann gilt

$\begin{eqnarray*} |f(x)-g|=|\frac{\ln(x)}{x-1}-1|<\frac{1}{2}\Rightarrow -\frac{1}{2}<\frac{\ln(x)}{x-1}-1<\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{1}{2}<\frac{\ln(x)}{x-1}<\frac{3}{2}\Rightarrow \frac{1}{2}(x-1)<\ln(x)<\frac{3}{2}(x-1) \end{eqnarray*}$

oder?

Das könnte man auch bestimmt besser formulieren, falls es richtig ist. verwirrt

verwirrt

02.01.2009, 21:33

tmo

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Das ist korrekt. Und aufgrund der Definition des Grenzwertes gilt dies Ungleichung nunmal für $\begin{eqnarray*} |x-1|<\delta \end{eqnarray*}$ , wobei über dieses $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ keine quantitative Aussage gemacht werden muss. Es existiert. Mehr war nicht verlangt.

02.01.2009, 21:40

Arianne20

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Super, vielen vielen dank.
Warst mir echt eine große Hilfe. Blumen

Blumen

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