Quadratische Gleichung/Normalform

02.01.2009, 22:08

aesop

Quadratische Gleichung/Normalform

Ich soll folgende Gleichung in die Normalform bringen:

x³+7x²-60x=0

hab an Wurzelziehen gedacht nur geht das ja mit keiner negativen Zahl (-60x). Außerdem möchte ich ja das x wegbekommen.

02.01.2009, 22:31

Jacques

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Hallo,

Du bringst die Begriffe durcheinander:

Das ist eine kubische Gleichung, keine quadratische, denn die höchste Potenz, in der die Variable auftritt, ist die dritte.

Zweitens ist nicht klar, was Du mit „in Normalform bringen“ meinst. Die „Normalform“ bei einer quadratischen Gleichung bedeutet ja, dass die Variable x² den Faktor 1 hat. Wenn man das entsprechend auf kubische Gleichungen überträgt, dann ist die Gleichung bereits in Normalform. Das scheinst Du also nicht zu meinen -- was dann?

Also sofern Du schlichtweg die Lösungen der Gleichung suchst, dann klammere auf der linken Seite x aus und wende den folgenden Satz an: Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.

02.01.2009, 22:45

aesop

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Zitat:

Original von Jacques
Hallo,

Du bringst die Begriffe durcheinander:

Das ist eine kubische Gleichung, keine quadratische, denn die höchste Potenz, in der die Variable auftritt, ist die dritte.

Zweitens ist nicht klar, was Du mit „in Normalform bringen“ meinst. Die „Normalform“ bei einer quadratischen Gleichung bedeutet ja, dass die Variable x² den Faktor 1 hat. Wenn man das entsprechend auf kubische Gleichungen überträgt, dann ist die Gleichung bereits in Normalform. Das scheinst Du also nicht zu meinen -- was dann?

Also sofern Du schlichtweg die Lösungen der Gleichung suchst, dann klammere auf der linken Seite x aus und wende den folgenden Satz an: Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.

Diese Gleichung ist der Zähler einer rationalen Funktion, welche ich so weit wie möglich kürzen soll. Zuerst wollte ich die Funktionen in ihre Linearfaktoren zerlegen, wozu ich ja bekanntlich erstmal die Nullstellen ermitteln muss. Deswegen wollte ich den Gleichung oben in eine quadratische umformen.

02.01.2009, 23:58

Musti

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Wieso postest du dann nicht Mal die ganze Funktion?

Also, was du machen könntest wäre das x ausklammern.

$\begin{eqnarray*} x^3+7x^2-60x=x\cdot (x^2+7x-60)=0 \end{eqnarray*}$

03.01.2009, 08:20

aesop

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Zitat:

Original von Musti
Wieso postest du dann nicht Mal die ganze Funktion?

Also, was du machen könntest wäre das x ausklammern.

$\begin{eqnarray*} x^3+7x^2-60x=x\cdot (x^2+7x-60)=0 \end{eqnarray*}$

Ja gut, aber wie kann ich darauf die p q Formel anwenden, immerhin steht ja vor der Klammer dann noch das x?

Hier die ganze Funktion:

$\begin{eqnarray*} x^3+7x^2-60x \end{eqnarray*}$

durch

$\begin{eqnarray*} 3x^2-27x+60 \end{eqnarray*}$

Beim Nenner dividiere ich durch drei, um die p und q Formel anzuwenden bzw. die Linearfaktoren zu erhalten.

03.01.2009, 10:16

Felix

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Wann ist das Produkt $\begin{eqnarray*} x\cdot (x^2+7x-60) \end{eqnarray*}$ denn gleich 0 ? Hast du schon mal was vom Produkt - Nullsatz gehört ?

lg

03.01.2009, 10:28

aesop

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Zitat:

Original von Felix
Wann ist das Produkt $\begin{eqnarray*} x\cdot (x^2+7x-60) \end{eqnarray*}$ denn gleich 0 ? Hast du schon mal was vom Produkt - Nullsatz gehört ?

lg

Ich soll somit die Nullstellen durch probieren herausfinden? Erscheint mir jetzt ziemlich umständlich. Und nein, vom "Produkt - Nullsatz" habe ich noch nichts gehört.

03.01.2009, 10:30

Felix

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Was geschieht mit dem Produkt $\begin{eqnarray*} x\cdot (x^2+7x-60) \end{eqnarray*}$ wenn x = 0 ist bzw. was geschieht mit ihm wenn $\begin{eqnarray*} (x^2+7x-60) = 0 \end{eqnarray*}$ ?

lg

03.01.2009, 11:46

aesop

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Zitat:

Original von Felix
Was geschieht mit dem Produkt $\begin{eqnarray*} x\cdot (x^2+7x-60) \end{eqnarray*}$ wenn x = 0 ist bzw. was geschieht mit ihm wenn $\begin{eqnarray*} (x^2+7x-60) = 0 \end{eqnarray*}$ ?

lg

Setze ich z.b. 5 als Nullstelle ein bekomme ich $\begin{eqnarray*} 25x+35x-60x \end{eqnarray*}$ nach dem Multiplizieren mit x vor der Klammer, was dann, wenn ich wieder 5 einsetze, das selbe ergibt wie wenn ich in die Ausgangsgleichung 5 einsetze. Brett vorm Kopf ist weg. Thx.

03.01.2009, 12:12

Felix

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Du weißt also wie du zu den Nullstellen kommst (du musst insgesamt 3 finden) ?

lg

03.01.2009, 14:01

aesop

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Zitat:

Original von Felix
Du weißt also wie du zu den Nullstellen kommst (du musst insgesamt 3 finden) ?

lg

Für den Zähler habe ich -12 und 5 und für den Nenner 5 und 4 gefunden.

Das Ganze in Linearfaktoren zerlegt und gekürzt ergibt x(x+12)/3(x-4), was auch laut Lösungsbuch richtig ist. Wieso also noch eine dritte Nullstelle?

03.01.2009, 14:09

mYthos

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Was ist mit dem Faktor x? Der kann ja auch noch Null werden.

mY+

03.01.2009, 14:45

Felix

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Der Produkt - Nullsatz besagt übrigens :

Ist das Produkt zweier Zahlen gleich 0 so muss einer der Faktoren 0 sein.

So ungefähr halt Augenzwinkern

Im Falle von $\begin{eqnarray*} x\cdot (x^2+7x-60) \end{eqnarray*}$ muss also entweder x oder $\begin{eqnarray*} (x^2+7x-60) \end{eqnarray*}$ gleich 0 sein ...

lg

03.01.2009, 15:26

aesop

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ok, hab da noch eine aufgabe, welche lautet: "Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{-2(1+x)}{x^2+1}+x^2 = x^2-1 \end{eqnarray*}$

indem Sie sie zunächst in eine möglichst einfach Polynomgleichung verwandeln."

als Lösung wird $\begin{eqnarray*} x^2-2x-1 = 0 \end{eqnarray*}$ angegeben, aber wie zur Hölle komme ich darauf? Mit dem Nenner zu multiplizieren macht ja wenig Sinn oder? Jedenfalls bin ich so nicht zu dieser Lösung gekommen.

03.01.2009, 15:40

Felix

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Wieso denn nicht ?

Multiplizier doch mal und vergiss dabei nicht x² auf der linken Seite auch zu multiplizieren. Dann noch "alles auf eine Seite bringen" und du bist fertig ...

lg

Edit :

Wenn du nicht aufs richtige Ergebniss kommst dn poste doch mal deinen Rechenweg ...

03.01.2009, 16:08

aesop

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Anfang: $\begin{eqnarray*} -2-2x(x^2+1)+x^2(x^2+1) = x^2-1 (x^2+1) \end{eqnarray*}$

Ende: $\begin{eqnarray*} -2x^3-x^2-2x-1 \end{eqnarray*}$ ...und hier weiß ich nicht weiter.

03.01.2009, 16:10

Felix

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$\begin{eqnarray*} -2-2x(x^2+1)+x^2(x^2+1) = x^2-1 (x^2+1) \end{eqnarray*}$

Das ist falsch! Richtig wäre : $\begin{eqnarray*} (-2-2x)+x^2(x^2+1) = (x^2-1) (x^2+1) \end{eqnarray*}$ .

Du kannst ja nicht nur einfach ein Glied einer Summe multiplizieren Augenzwinkern

03.01.2009, 16:14

aesop

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Zitat:

Original von Felix
$\begin{eqnarray*} -2-2x(x^2+1)+x^2(x^2+1) = x^2-1 (x^2+1) \end{eqnarray*}$

Das ist falsch! Richtig wäre : $\begin{eqnarray*} (-2-2x)+x^2(x^2+1) = (x^2-1) (x^2+1) \end{eqnarray*}$ .

Du kannst ja nicht nur einfach ein Glied einer Summe multiplizieren Augenzwinkern

edit: weil es sich schon im voraus wegkürzt?

03.01.2009, 16:17

Felix

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Und den Rest ? Wenn du die Gleichung mit (x² + 1) multiplizierst, dann musst du jedes Glied getrennt multiplizieren aber immer nur einen Faktor eines Produkts, wie es aussieht hast du es genau verkehrt herum gemacht ....

lg

03.01.2009, 16:27

aesop

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ok, jetzt hab ichs richtig. danke.

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