Taylorreihe u. Konvergenzbereich

03.01.2009, 15:04

eierkopf1

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Taylorreihe u. Konvergenzbereich

Hallo!

Folgendes Beispiel:

"Entwickeln Sie die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x \sqrt x \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0=1 \end{eqnarray*}$ in eine Taylorreihe und bestimme ihren Konvergenzbereich."

Die Taylorreihe war kein Problem:
$\begin{eqnarray*} f(x)=1 + \frac{3x-3}{2}+\frac{3(x-1)^2}{8}+ \sum_{\nu=3}^{\infty}~\frac{ \prod_{k=1}^{\nu-2}(2k-1)\cdot 3 \cdot (-1)^{\nu}}{\nu ! \cdot 2^{\nu}} (x-1)^{\nu} \end{eqnarray*}$

Aber wie bestimme ich den Konvergenzbereich?

In unserem Skript finde ich dazu nichts. Wir haben die ganzen Kriterien für unendliche Reihen gemacht. Und auch ein paar Sätze über Restglieder der Taylorreihe (Lagrange, Cauchy und Schlömilch).

kA wie und welchem Ansatz ich jetzt anfangen soll.

mfg

03.01.2009, 19:27

klarsoweit

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RE: Taylorreihe u. Konvergenzbereich

Zitat:

Original von eierkopf1
Aber wie bestimme ich den Konvergenzbereich?

Ich würde es mit einem geeigneten Konvergenzkriterium versuchen.

03.01.2009, 19:50

eierkopf1

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RE: Taylorreihe u. Konvergenzbereich
Danke für die Antwort!

Was passiert mit dem Produkt und dem "x"?

mfg

04.01.2009, 11:46

klarsoweit

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RE: Taylorreihe u. Konvergenzbereich
Was soll schon damit passieren? Die müssen eben in das gewählte Kriterium eingesetzt werden.

04.01.2009, 11:58

WebFritzi

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Dein Ausdruck da lässt sich übrigens erheblich vereinfachen. Kommt die 3 wirklich mit rein ins Produkt?

04.01.2009, 13:15

eierkopf1

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RE: Taylorreihe u. Konvergenzbereich
Danke für die Antworten!

Die 3 gehört nicht zum Produktzeichen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=1 + \frac{3x-3}{2}+\frac{3(x-1)^2}{8}+ \sum_{\nu=3}^{\infty}~\frac{ (\prod_{k=1}^{\nu-2}(2k-1))\cdot 3 \cdot (-1)^{\nu}}{\nu ! \cdot 2^{\nu}} (x-1)^{\nu} \end{eqnarray*}$

Wie kann ich diesen Term vereinfachen?

@Kriterien: Wenn es eine "normale" unendliche Reihe wäre, würde ich mal das Quotientenkriterium versuchen anzuwenden. Aber kA was mit dem x und dem Produktzeichen passieren soll.

mfg

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04.01.2009, 20:30

WebFritzi

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Als Mathematikstudent solltest du schon erkennen, dass es sich für jedes x um eine "normale" unendliche Reihe handelt und dass du für jedes x das Quotientenkriterium darauf loslassen kannst. Und das Produkt ist auch nur eine Zahl.

05.01.2009, 09:36

eierkopf1

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RE: Taylorreihe u. Konvergenzbereich
Ich habe mal das Quotientenkriterium angewendet:

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{\frac{ (\prod_{k=1}^{\nu-1}(2k-1))\cdot 3 \cdot (-1)^{\nu+1}}{(\nu +1) ! \cdot 2^{\nu+1}} (x-1)^{\nu+1} }{\frac{ (\prod_{k=1}^{\nu-2}(2k-1))\cdot 3 \cdot (-1)^{\nu}}{\nu ! \cdot 2^{\nu}} (x-1)^{\nu}} \right| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \left| \frac{ (\prod_{k=1}^{\nu-1}(2k-1)) \cdot (-1)\cdot (x-1)} {(\prod_{k=1}^{\nu-2}(2k-1))\cdot (\nu +1) \cdot 2} \right| \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass stimmt so mit dem Produkt.

$\begin{eqnarray*} = \left| \frac{ (\prod_{k=\nu-1}^{\nu-1}(2k-1)) \cdot (-1)\cdot (x-1)} {(\nu +1) \cdot 2} \right|= \left| \frac{ (2(\nu -1)-1) \cdot (-1)\cdot (x-1)} {(\nu +1) \cdot 2} \right| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \left| \frac{ -(2 \nu -3) \cdot (x-1)} {(2 \nu +2)} \right| \end{eqnarray*}$

Jetzt schätze ich den Term nach oben ab, weil ich wissen will, für welche x es konvergiert, oder?:
$\begin{eqnarray*} \leq \left| \frac{ -2 \nu \cdot (x-1)} {2 \nu } \right| = |-x+1| \end{eqnarray*}$

Stimmt das bis jetzt?

Ich würde dann eine Fallunterscheidung machen.

Vielen Dank schon mal für die Mühe!

mfg

05.01.2009, 09:50

klarsoweit

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RE: Taylorreihe u. Konvergenzbereich

Zitat:

Original von eierkopf1
Jetzt schätze ich den Term nach oben ab, weil ich wissen will, für welche x es konvergiert, oder?:

Eine Abschätzung ist unnötig. Du kannst direkt den Grenzwert für v gegen unendlich bilden. smile

smile

05.01.2009, 10:31

eierkopf1

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RE: Taylorreihe u. Konvergenzbereich
$\begin{eqnarray*} = \left| \frac{-2+ \frac 3 {\nu}}{2+ \frac 2 {\nu}} (x-1) \right| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \limsup_{\nu \to \infty}=|-x+1| \end{eqnarray*}$

Dh, die ganzen "Grenzwertkriterien" (zB umformen auf Nullfolgen, Wurzelsatz usw...) gelten auch für den Limes superior bzw inferior?

Jetzt kann ich eine Fallunterscheidung machen und komme auf das Ergebnis:

Für $\begin{eqnarray*} 0 < x < 2 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \limsup_{\nu \to \infty}=|-x+1|<1 \end{eqnarray*}$ und somit konvergent.

Also das ist mein Konvergenzbereich.

Eine Frage zum Quotientenkriterium: In unserem Skript steht: Für $\begin{eqnarray*} \limsup ... < 1 \end{eqnarray*}$ ist die Reihe absolut konvergent und für $\begin{eqnarray*} \liminf ... >1 \end{eqnarray*}$ ist die Reihe divergent.
Es wird quasi zwischen Limes superior und Limes inferior unterschieden. Aber eigentlich macht es doch keinen Unterschied, wenn man die Konvergenz einer Reihe zeigen will. verwirrt

verwirrt

mfg

05.01.2009, 10:38

klarsoweit

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RE: Taylorreihe u. Konvergenzbereich

Zitat:

Original von eierkopf1
Dh, die ganzen "Grenzwertkriterien" (zB umformen auf Nullfolgen, Wurzelsatz usw...) gelten auch für den Limes superior bzw inferior?

Ich verstehe nicht, was du damit sagen willst.

Zitat:

Original von eierkopf1
Es wird quasi zwischen Limes superior und Limes inferior unterschieden. Aber eigentlich macht es doch keinen Unterschied, wenn man die Konvergenz einer Reihe zeigen will. verwirrt

verwirrt

Auch bei diesem Satz verstehe nicht, was du sagen willst.

05.01.2009, 11:04

eierkopf1

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RE: Taylorreihe u. Konvergenzbereich
Der Limes superior ist der größte Verdichtungspunkt bzw. der größte Grenzwert der konvergenter Teilfolgen von $\begin{eqnarray*} \{ x_n \} \end{eqnarray*}$ . Und um diesen zu berechnen, kann man ihn "behandeln" wie einen "normalen" Grenzwert.

@Quotientenkriterium: Ich meine, dass es doch eigentlich egal ist, ob man für das QK den Limes superior oder den Limes inferior verwendet, oder?

mfg

05.01.2009, 11:10

klarsoweit

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RE: Taylorreihe u. Konvergenzbereich
Nun ja, was heißt "egal"? Wenn du Konvergenz zeigen willst, muß du den Limes-sup nehmen, willst du Divergenz zeigen, dann den Limes-inf.

05.01.2009, 11:13

eierkopf1

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RE: Taylorreihe u. Konvergenzbereich
Ja, genau.

Sonst stimmt alles?

Eine generelle Frage noch zu Taylorreihen: Das Bildungsgesetz für die Ableitung muss man ja mittels Induktion zB beweisen. (Diese Frage habe ich auch im anderen Thread gestellt). Aber was genau ist da zu zeigen? (Also welcher Term soll welchem entsprechen)

mfg

05.01.2009, 11:51

klarsoweit

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RE: Taylorreihe u. Konvergenzbereich

Zitat:

Original von eierkopf1
Sonst stimmt alles?

Ja.

Zitat:

Original von eierkopf1
Eine generelle Frage noch zu Taylorreihen: Das Bildungsgesetz für die Ableitung muss man ja mittels Induktion zB beweisen. (Diese Frage habe ich auch im anderen Thread gestellt). Aber was genau ist da zu zeigen? (Also welcher Term soll welchem entsprechen)

Du brauchst ein Bildungsgesetz für die n-te Ableitung am Entwicklungspunkt der Taylorreihe. Die entsprechende Regel (sofern man überhaupt eine findet smile

smile

), ist dann mit vollständiger Induktion zu zeigen.

05.01.2009, 14:58

eierkopf1

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RE: Taylorreihe u. Konvergenzbereich
Danke sehr für die Hilfe!

@Bildungsgesetz beweisen:

Man hat also beim obigen Beispiel das zu beweisen:

$\begin{eqnarray*} f^{(\nu)}(1)=\frac{ (\prod_{k=1}^{\nu -2} (2k-1)) \cdot 3 \cdot (-1)^{\nu} } {2^{\nu}} \end{eqnarray*}$

Oder?

mfg

05.01.2009, 15:04

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RE: Taylorreihe u. Konvergenzbereich
Ja.

06.01.2009, 16:10

eierkopf1

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RE: Taylorreihe u. Konvergenzbereich
Nochmal zum Beweis mittels vollständiger Induktion:

$\begin{eqnarray*} f^{(\nu)}(1)=\frac{ (\prod_{k=1}^{\nu -2} (2k-1)) \cdot 3 \cdot (-1)^{\nu} } {2^{\nu}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \nu \geq 3 \end{eqnarray*}$
ist zu beweisen.

1.) Induktionsanfang/-basis: $\begin{eqnarray*} \nu =3 \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich die 3. Ableitung gebildet und 1 eingesetzt und dann eben ins Bildungsgesetz 3 eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} -\frac 3 8 =-\frac 3 8 \end{eqnarray*}$

Passt!

2.) Induktionsannahme: Siehe oben.

3.) Induktionsbehauptung:
$\begin{eqnarray*} f^{(\nu+1)}(1)=\frac{ (\prod_{k=1}^{\nu -1} (2k-1)) \cdot 3 \cdot (-1)^{\nu+1} } {2^{\nu+1}} \end{eqnarray*}$

Wie soll das jetzt mit der linken Seite funktionieren? verwirrt

verwirrt

mfg

07.01.2009, 08:39

eierkopf1

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RE: Taylorreihe u. Konvergenzbereich
Weiß keiner etwas zum Induktionsbeweis? traurig

traurig

08.01.2009, 02:19

WebFritzi

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Doch ich: das funktioniert so nicht, denn du kannst die Induktionsvoraussetzung nicht anwenden.

08.01.2009, 18:37

eierkopf1

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Danke für die Antwort smile

smile

Ich glaube, so ist der richtige Weg:

Für die Ableitung gilt folgendes:

$\begin{eqnarray*} f^{(v)}(x)= \frac{ 3 \cdot (-1)^v \cdot \{ \prod_{k=1}^{v-2} (2k-1) \}}{2^v}x^{-\frac{2v-3}{2}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} v \geq 2 \end{eqnarray*}$

Die Induktionsbasis lautet: v=2
Hab die 2. Ableitung "händisch" ausgerechnet und beim Bildungsgesetz v=2 eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{4 \sqrt x}=\frac{3}{4 \sqrt x} \end{eqnarray*}$

Stimmt also

Induktsannahme:
$\begin{eqnarray*} f^{(v)}(x)= \frac{ 3 \cdot (-1)^v \cdot \{ \prod_{k=1}^{v-2} (2k-1) \}}{2^v}x^{-\frac{2v-3}{2}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} v \geq 2 \end{eqnarray*}$

Induktionsbehauptung:
$\begin{eqnarray*} f^{(v+1)}(x)= \frac{ 3 \cdot (-1)^{v+1} \cdot \{ \prod_{k=1}^{v-1} (2k-1) \}}{2^{v+1}}x^{-\frac{2v-1}{2}} \end{eqnarray*}$
Der rechte Term ist zu zeigen.

$\begin{eqnarray*} f^{(v+1)}(x)= \frac{ 3 \cdot (-1)^v \cdot \{ \prod_{k=1}^{v-2} (2k-1) \}}{2^v}x^{-\frac{2v-3}{2}} \cdot \frac{(-1)\cdot (2(v-1)-1)}{2}x^{-1} \end{eqnarray*}$

Auf den rechten Bruch bin ich so gekommen:
-1: weil sich das Vorzeichen ändert.
(2(v-1)-1): Das letzte Glied des Produkts, das zu zeigen ist bzw. der Faktor, den man druch hinauf setzen der "Produktgrenze" um 1 erhält. (kA wie ich das ausdrücken soll).
x^(-1): Ableitungsregel für Potenzen
durch 2: weil bei jedem Schritt durch 2 dividiert wird.

Und dann das zusammengefasst ergibt das, was zu zeigen war.

Stimmt das so?

mfg

08.01.2009, 20:53

WebFritzi

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Sieht gut aus.

08.01.2009, 20:58

eierkopf1

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Danke sehr für die Hilfe Wink

Wink

Tanzen

Ich werde jetzt Taylorreihen immer versuchen, so zu lösen, dass ich zuerst versuche ein Bildungsgesetz für die Ableitung (ohne für x0 einzusetzen) zu finden und dann erst x0 einsetze. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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