Knotentheorie - Alexanderpolynom: Bestimmung über die Seifert Matrix

03.01.2009, 18:27	PK	Auf diesen Beitrag antworten »
Knotentheorie - Alexanderpolynom: Bestimmung über die Seifert Matrix Moin, (Anm.: Während der Schreiberei ist mir ein wenig Licht in den Tunnel gekommen, ich poste trotzdem) ich lese mich gerade ein wenig durch Knotentheorie. Mit Knoten meine ich eine Einbettung der $\begin{eqnarray} S^{1} \end{eqnarray}$ in den $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^{3} \end{eqnarray}$ . Nun hat man ja verschiedene Möglichkeiten, an diesen Knoten Invarianten zu finden. Alexander präsentierte die erste Möglichkeit einer Invariante, das Alexander Polynom. Ich habe als Literaturgrundlage das Buch "Knots" von Burde und Zieschang, dort erklären die beiden, wie man das Alexanderpolynom erhält. Das Alexanderpolynom wird (dort als Satz, aber kann man auch so definieren) definiert als die Determinante der Alexandermatrix $\begin{eqnarray} A(t) = V^{T}-tV \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ die Seifert-Matrix eines Knotens, $\begin{eqnarray} t \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ . Soweit, so gut. Ein Problem habe ich aber mit der Seifert-Matrix, ich verstehe leider die Konstruktion in dem Buch nicht wirklich und die im engl. Wikipedia auch nicht . Ich kann ja mal hier reinhauen, was da steht. Es wird sogar das Konstruktionsverfahren angegeben, da hakts aber bei halt. Grundlage: Man nehme einen Knoten $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ und eine dazu gehörende Seifert-Fläche $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ (ne Seifert-Fläche ist eine orientierbare Fläche, die den Knoten als Rand hat Bsp: der triviale Knoten hat zB die Kreisscheibe als S-Fläche, nicht aber das Möbiusband, da das nicht orientierbar ist). Jetzt nimmt man eine sogenannte Bandprojektion der Seifert-Fläche: Dabei werden Doppeltwists in eine Schleife umgewandelt. Einsehen kann man das zB auf Seite 116 von http://books.google.de/books?id=DJHI7Dpg...cad=0#PPA116,M1 , da ist der Trefoil-Knot (a) als solche Projektion zu sehen. So, diese Fläche hat jetzt Geschlecht $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ (wie genau das Geschlecht da definiert ist, weiß ich leider nicht, bin nicht der große Topologe ...). Bei der Bandprojektion legt man jetzt, da man immer eine gerade Anzahl an Bändern aus dem zentralen Flächenteil auslaufen hat, $\begin{eqnarray} 2h \end{eqnarray}$ geschlossene (orientierte) Wege $\begin{eqnarray} a_{i}, i = 1,...,2h \end{eqnarray}$ durch die Bänder, durch jedes Band eines, gemeinsamer Punkt ist ein Referenzpunkt $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ . Gut, jetzt legt man eine Umgebung $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ um diesen Bänderhaufen, aber nicht ganz. Der Knoten $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ ist immer noch Rand von dem Bänderhaufen und der soll in $\begin{eqnarray} \partial W \end{eqnarray}$ liegen, sodass man die $\begin{eqnarray} \partial W \end{eqnarray}$ in zwei Hälften zwelegt hat, man nenne sie $\begin{eqnarray} S^{+}, S^{-} \end{eqnarray}$ . Jetzt nimmt man sich die Wege $\begin{eqnarray} a_{i} \end{eqnarray}$ und projeziere die auf diese beiden Randhälften, nenne sie $\begin{eqnarray} a_{i}^{+}, a_{i}^{-} \end{eqnarray}$ . Gut, soweit komme ich noch mit, aber: Wenn man jetzt die Basispunkte von $\begin{eqnarray} S^{+} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} S^{-} \end{eqnarray}$ mit verbinde die mit einem Bogen, dadurch "definieren diese ein kanonisches System von Kurven auf der geschlossenen orientierbaren Fläche $\begin{eqnarray} \partial W \end{eqnarray}$ mit Geschlecht $\begin{eqnarray} 2h \end{eqnarray}$ und definieren genauer auch eine Basis von $\begin{eqnarray} H_{1}(\partial W) \cong \mathbb{Z}^{4h} \end{eqnarray}$ " (hab keine Ahnung von Homologie ) Jetzt kommt danach noch ein bisschen blabla, das glaub ich nicht so wichtig ist. Dann wird definiert: Sei $\begin{eqnarray} V_{jk} = lk(a_{j}^{-}, a_{k}) \end{eqnarray}$ , die Linking-Number, also die Verschlingungszahl von a_j- und a_k. Die dabei entstehende $\begin{eqnarray} 2h \times 2h \end{eqnarray}$ -Matrix ist die Seifert-Matrix... Hm... jetzt merke ich beim Schreiben, dass danach steht, wie man praktisch vorzugehen hat... in 4 Zeilen. Da es über Knotentheorie aber noch nicht soo viel hier gibt und das ein interessantes Thema ist, poste ich trotzdem. Man nehme sich die Bandprojektion, nummeriere die Bänder, die zu den $\begin{eqnarray} a_{i} \end{eqnarray}$ gehören, mit $\begin{eqnarray} B_{i} \end{eqnarray}$ zählt jetzt: $\begin{eqnarray} r_{ik} \end{eqnarray}$ # $\begin{eqnarray} \{B_{i} \end{eqnarray}$ überquert $\begin{eqnarray} B_{k} \end{eqnarray}$ von rechts nach links $\begin{eqnarray} \} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} l_{ik} \end{eqnarray}$ ist das selbe, nur von links nach rechts. $\begin{eqnarray} v_{ik} := l_{ik} - r_{ik} \end{eqnarray}$ Mit der oben genannten Definition kommt dann das Alex.Polynom zustande. Das neuere Jones-polynom geht einfacher ^^ Grüße, PK (Bin für Kommentare offen, vll. auch Hilfe und vll. kommt ja bei mir auch noch mehr Fragerei auf )

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