doppelintegral reduzieren auf einzelintegral

03.01.2009, 18:29

johnnylu

doppelintegral reduzieren auf einzelintegral

Hallo
ich hab folgendes Problem:
Wie kann man ein doppel Integral wie \int\int f(t1-t2) dt1 dt2 ,t1=0..T ,t2=0..T
durch substitution tau=t1-t2 auf ein einzelintegral reduzieren?

dabei stellt f(t1-t2) eine funktion dar, die nicht integrierbar ist, also ich wil das integral nicht einfach nacheinander nach t2 und t1 integrieren sonder nur reduzieren in eine Form ähnlich \int f(tau) dtau wobei man ja die grenzen ändern muss.

Die lösung wäre \int (Tp-tau) f(tau) dtau , tau=-T..T

das Problem sind für mich bei der substitution die Grenzen sodaß man auf den Term (Tp-tau) kommt. Ich komme nur auf den Term Tp ohne das -tau
vielen dank

03.01.2009, 22:19

Dual Space

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RE: doppelintegral reduzieren auf einzelintegral
Was soll Tp sein? Wenn f nicht integrierbar ist, wozu dann der Aufwand?

Wie auch immer ... entweder verstehe ich dich falsch, oder du täuschst dich. Schau mal:

Nehmen wir mal an F sei eine Stammfunktion von f. Dann ist

$\begin{eqnarray*} \int_0^T\int_0^T f(t-s)\dd t\dd s=\int_0^T [F(T-s)-F(-s)]\dd s. \end{eqnarray*}$

Hier sieht man doch, dass man auf diese Form niemals kommt, wenn man nur einmal integriert, oder?

04.01.2009, 03:22

johnnylu

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RE: doppelintegral reduzieren auf einzelintegral
Ups sry Tp soll T sein
also der sinn ist dass die Funktion f(t1-t2)=sinc(2pi(t1-t2))*cos.. darstellt die nicht geschlossen integrierbar ist. Falls ich es hinbekommen würde das doppelintegral auf ein einzelnes durch substitution z reduzieren kann ich es zb mit maple grafisch darstellen.
Also die lsg die ich oben angegeben habe für die reduzierung auf das einzel integral stimmt fast ganz sicher. ich weiß jedoch nicht genau wie man auf diese kommt da ich nicht genau weiß wie die substition bei der reduzierung eines doppelintegrals auf ein einzelintegral gemacht wird (also ich würde dann tau=t1-t2 setzen ->damit folgen die grenzen für tau: -T...T) aber der Term (T-tau)?? vielen dank für die hilfe

04.01.2009, 06:45

Dual Space

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RE: doppelintegral reduzieren auf einzelintegral

Zitat:

Original von johnnylu
da ich nicht genau weiß wie die substition bei der reduzierung eines doppelintegrals auf ein einzelintegral gemacht wird

Wie ich dir bereits sagte: Das geht idR gar nicht.

04.01.2009, 07:20

WebFritzi

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Also, zuerst möchte ich dich darum bitten, das nächste Mal den Formeleditor zu benutzen. Danke!

Zuerstmal gilt nach deiner angegebenen Substitution

$\begin{eqnarray*} \int_0^T\int_0^Tf(t-s)\,dt\,ds = \int_0^T \int_{-s}^{T-s}f(\tau)\,d\tau\,ds. \end{eqnarray*}$

So, und dann mal es dir doch einfach mal auf. s läuft von 0 bis T und dann (für jedes s) tau von -s bis T-s. Das kannst du umdrehen. Ich habe es in der Zeichnung angedeutet.

$\begin{eqnarray*} \int_0^T \int_{-s}^{T-s}f(\tau)\,d\tau\,ds &=& \int_{-T}^0\int_\tau^T f(\tau)\,ds\,d\tau + \int_0^T\int_0^{T-\tau}f(\tau)\,ds\,d\tau\\ &=& \int_{-T}^T (T-\tau)f(\tau)\,d\tau. \end{eqnarray*}$

04.01.2009, 07:57

Dual Space

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Schau an ... jetzt verstehe ich was gemeint war. Freude

04.01.2009, 11:58

johnnylu

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Hallo

Vielen Dank für die Hilfe euch beiden.
Jetzt hab ichs auch verstanden. Die Zeichnung war sehr hilfreich
Vielen Dank

04.01.2009, 12:37

johnnylu

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kleine Anmerkung: Im der oberen Lsg steht ein kleiner Fehler in den Grenzen des Integrals. (sollte -tau heißen, meiner Meinung nach) was dann in der Lsg zu einem Absolutbetrag führt oder?

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{T}~\int_{-s}^{T-s}~f(\tau)~d\tau~ds = \int_{-T}^{0}~\int_{-\tau}^{T}~f(\tau)~ds~d\tau + \int_{0}^{T}~\int_{0}^{T-\tau}~f(\tau)~ds~d\tau= \int_{-T}^{0}~(T+\tau)~f(\tau)~d\tau + \int_{0}^{T}~(T-\tau)~f(\tau)~d\tau = \int_{-T}^{T}~(T-\mid \tau \mid )~f(\tau)~d\tau \end{eqnarray*}$

04.01.2009, 20:25

WebFritzi

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Ja, da hast du recht. Gut aufgepasst.

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