partikuläres Integral

03.01.2009, 19:34	mmuehlba	Auf diesen Beitrag antworten »
partikuläres Integral Hallo zusammen - wieder einmal quäle ich Euch mit einer meiner "speziellen" Fragen und freue mich über Antworten Also - ich soll ein partikuläres Integral deffinieren - leider habe ich weder in meinem Skript, noch im Netz eine solche Deffinition gefunden Was ich rausgefunden habe ist folgendes: Man unterscheidet bei eine Lösung einer Differenzialgleichung zwischen einer allgemeinen Lösung und der partikulären Lösung. Eine allgemeine Lösung lautet z.B: $\begin{eqnarray} Y(x)=x²-2x+C \end{eqnarray}$ Die Gesamtheit dieser Funktionen wird als allgemeine Lösung oder allgemeines Integral der Differenzialgleichung bezeichnet. Wird dem Parameter C ein fester Wert zugeordnet, erhält man eine einzelne Funktion, die als partikuläre Lösung oder partikuläres Integral bezeichnet wird. $\begin{eqnarray} Y'(x)=2x-2 \end{eqnarray}$ Eine partikuläre Lösung wird also aus der allgemeinen Lösung gewonnen, indem man aufgrund zusätzlicher Bedingungen den Parametern feste Werte zuweist. Beispiel: (C=-3) $\begin{eqnarray} Y(x)=x²-2x+C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Y(x)=x²-2x-3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Y'(x)=2x-2 \end{eqnarray}$ Im Groben und Ganzen versteh ich was da steht bzw. gemeint ist, aber ich weiss einfach nicht wie ich dazu eine allgemeine Definition basteln kann - noch dazu möchte meine Prof. auch den Zusammenhang zwischen unbestimmtem Integral und partikulärem Integral wissen Bin über jeden Ratschlag froh! LG Mike
04.01.2009, 16:59	mmuehlba	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab gerade gesehen, dass ich doch auch mal eine Frage habe, welche der "Hochschulmathematik" würdig ist Spass bei Seite - bin verschoben worden und hoffe, dass mir hier wer helfen kann
04.01.2009, 17:56	lupo1977	Auf diesen Beitrag antworten »
Manchmal bezeichnet man mit "Integral einer Differentialgleichung" die Lösung einer solchen. Ich glaube mich zu erinnern das dies gern bei DGLs erster Ordnung so benannt wird. Schau auch mal im Netz unter den Begriff "first integral". Das ist jetzt aber nur eine Vermutung, also keine Garantie. Ok, gehen wir mal davon aus das mit "partikuläres Integral" die partikuläre Lösung einer DGL gemeint ist. Betrachtet man lineare DGLs mit einem externen Störterm, dann kann man beim lösen derselbigen wie folgt vorgehen. 1. Lösen der homogenen Gleichung (d.h. Ströterm auf 0 setzen)... Das liefert die homogene Lösung, das geht meist über die allgemein bekannte Lösungstheorie die man für lineare DGLs hat 2. Erraten/Ermitteln einer partikulären Lösung (wird meist mit einen Trick über einen geeigneten Ansatz erledigt) Für lineare DGLs gilt nun das Superpositionsprinzip (gerade wegen der Linearität) und man weiss das die Lösung der ausgangs DGL gerade über diese beiden Teillösungen gegeben ist. Das ganze gilt aber nur für lineare DGL. Wenn Du mehr wissen möchtest dann rate ich dir im Netz nach den fett markierten Wörtern zu suchen.
04.01.2009, 18:11	mmuehlba	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Lupo für die Antwort - werde gleich mal das Netz durchstöbern LG Mike
06.01.2009, 19:35	mmuehlba	Auf diesen Beitrag antworten »
Hurra - ich hab des Rätsels Lösung Da es ja mal sein könnte, dass auch noch jemand anders mit diesem speziellen Begriff gequält wird, hier mal ne kurze Erklärung: Da das partikuläre Integral sehr stark mit dem unbestimmten Integral zusammenhängt, beginne ich zuerst mal mit folgender Definition.......... .....die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion f heißt unbestimmtes Integral von f $\begin{eqnarray} \Rightarrow \int_{}^{}~f(x)~dx = F(x) + C \end{eqnarray}$ wir haben also eine unendliche Menge von Stammfunktionen, welche alle die gleiche Steigung haben, alle parallel der y-Achse verschoben sind und sich lediglich durch die additive Konstante C unterscheiden .......... und genau um dieses C geht es jetzt Ist eine zusätzliche Bedingung bekannt, so lässt sich aus der unendlichen Menge von Stammfunktionen (unbestimmtes Integral) eine bestimmte Kurve und somit ein Wert für die Konstante C ermitteln! z.B.: N(a,0) $\begin{eqnarray} Y = F(x) + C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 = F(a) + C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} C = -F(a) \end{eqnarray}$ allgemein formuliert: $\begin{eqnarray} \Rightarrow I(x)=\int_{a}^{x}~f(x)~dx = F(x) - F(a) \end{eqnarray}$ Wie ihr seht, ist das partikuläre Integral eine durch eine zusätzliche Bedingung gewonnene Stammfunktion von f, welche es ermöglicht den Wert von C zu ermitteln! Sodale - ich hoff das keine Fehler drinnen sind - falls ja bitte sagen (und außerdem würd es mich nicht wundern wenn es dafür auch noch nen komplett anderen mathematischen Begriff gibt ) LG Mike

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