Bildungsgesetz: Taylorreihe entwickeln

03.01.2009, 20:17	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
Bildungsgesetz: Taylorreihe entwickeln Hallo! Folgende Taylorreihe: "Entwickeln Sie die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)= \frac 1 {6-x-x²} \end{eqnarray}$ an der Stelle $\begin{eqnarray} x_0=0 \end{eqnarray}$ in eine Taylorreihe" Ich habe die Ableitungen gebildet. Ich sehe aber keine Regelmäßigkeit $\begin{eqnarray} f(0)=\frac 1 6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(0)= \frac 1 {6^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(0) = \frac{14}{6^3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'''(0) = \frac{78}{6^4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f^4(0) = \frac{1320}{6^5} \end{eqnarray}$ Kann mir jemand einen Tipp für eine Regelmäßigkeit des Zählers geben? mfg
03.01.2009, 21:08	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur so eine Idee, vielleicht könnte die Zerlegung in zwei Partialbrüche weiterhelfen. Jeder der beiden einfacheren Teilbrüche lässt sich dann eventuell leichter als Taylorreihe schreiben ... mY+
04.01.2009, 16:51	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke mYthos! Ich habs hinbekommen: Zerlegung: $\begin{eqnarray} \frac 1 {6-x-x²} = \frac 1 {5x+15} + \frac {-1}{5x-10} \end{eqnarray}$ Dann habe ich für beide Teile eine Taylorreihe entwickelt: $\begin{eqnarray} \frac 1 {5x+15}= \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \cdot 5^k \cdot \frac 1 {15^{k+1}} \cdot x^k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac {-1} {5x-10}= \sum_{k=0}^{\infty} 5^k \cdot \frac 1 {10^{k+1}} \cdot x^k \end{eqnarray}$ Zusammengefasst: $\begin{eqnarray} \frac 1 {6-x-x²} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \cdot 5^k \cdot \frac 1 {15^{k+1}} \cdot x^k +~\sum_{k=0}^{\infty} 5^k \cdot \frac 1 {10^{k+1}} \cdot x^k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sum_{k=0}^{\infty} 5^k \cdot x^k \left( (-1)^k \cdot \frac 1 {15^{k+1}} +\frac 1 {10^{k+1}} \right) \end{eqnarray}$ Jetzt noch eine generelle Frage: Was muss ich mittels vollständiger Induktion beweisen? Eigentlich doch nur das Bildungsgestz für die Ableitungen. Wie mache ich das? Könnte mir jemand nur hinschreiben, was ich zu beweisen habe? zB für den ersten Partialbruch: $\begin{eqnarray} f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^n \cdot 5^n \cdot n!}{(5x+15)^{n+1}} \end{eqnarray}$ Aber irgendwie fehlt mir noch die "rechte Seite", also das was zu beweisen ist. Oder liege ich hier völlig falsch? mfg

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