Differenzierbar

03.01.2009, 21:26

Arianne20

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Differenzierbar

Die Aufgabe lautet:

Wie oft ist $\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} \cosh(x)-1, & \text{für }x\leq 0\\ x^2, & \text{für }x>0 \end{cases} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar?

Meine Idee:

Für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \cosh(x)-1 \end{eqnarray*}$ .
Ich könnte den Differentialquotienten dazu bilden und schauen ob es in $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist.
Eine weitere Idee ist, die Ableitung mittels Ableitungsregel zu bilden und versuchen die 0 einzusetzen und schauen ob es klappt, aber ob das reicht als Beweis wage ich zu bezweifeln...
Welche Rolle spielt überhaupt $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ bei der Funktion, wenn es darum geht in $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ zu differenzieren?

Danke

03.01.2009, 21:33

tigerbine

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RE: Differenzierbar
Was ist denn eine notwendige voraussetzung für diffbarkeit?

03.01.2009, 21:35

Arianne20

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RE: Differenzierbar
Dass die Funktion stetig ist?

03.01.2009, 21:53

tigerbine

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RE: Differenzierbar
Das meinte ich nicht, sondern "von welchen Seiten" aus man den Grenzwert des Differenzenquotien betrachten muss. So kommt dann auch x² ins spiel.

03.01.2009, 21:55

Arianne20

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RE: Differenzierbar
Ob der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert übereinstimmt?
Meinst du das?

03.01.2009, 22:08

tigerbine

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RE: Differenzierbar
jojo, das meine ich.

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03.01.2009, 22:13

Arianne20

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RE: Differenzierbar
Das reicht aus um zu sagen, dass die Funktion bei x=0 differenzierbar ist?
Mehr brauche ich nicht zu zeigen?

03.01.2009, 22:18

tigerbine

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RE: Differenzierbar
Ja, wenn die Definition erfüllt ist, wird es wohl reichen, oder?

03.01.2009, 22:26

Arianne20

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RE: Differenzierbar
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0_+} \cosh(x)= \lim_{x \to 0_+} \frac{1}{2}(e^x+e^{-x})-1=1-1=0=\lim_{x \to 0_-} x^2 \end{eqnarray*}$

So ok?

04.01.2009, 09:36

eierkopf1

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RE: Differenzierbar

Zitat:

Original von Arianne20
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0_+} \cosh(x)= \lim_{x \to 0_+} \frac{1}{2}(e^x+e^{-x})-1=1-1=0=\lim_{x \to 0_-} x^2 \end{eqnarray*}$

So ok?

Beim ersten Ausdruck fehlt die "- 1".

EDIT: Du hast auch "von oben kommend" und "von unten kommend" vertauscht. So lautet es richtig:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^-} (\cosh(x)-1)= \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{2}(e^x+e^{-x})-1=1-1=0=\lim_{x \to 0^+} x^2 \end{eqnarray*}$

Aber so hast du nur gezeigt, dass sie im Punkt 0 stetig ist.

Es müssen die Differentialquotienten existieren.

mfg

04.01.2009, 11:36

Arianne20

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RE: Differenzierbar
Also fehlt mir noch:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{\cosh(0+h)-1-(\cosh(0)-1)}{h} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{(0+h)^2-0^2}{h} \end{eqnarray*}$

Beim zweiten folgt: $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{h^2}{h}=\lim_{h \to 0} h=0 \end{eqnarray*}$

Also existiert der Differentialquotient.

Beim ersten erhalte ich: $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2}(e^h+e^{-h})-1}{h} \end{eqnarray*}$

Ich glaube hier kann ich h nicht gegen 0 laufen lassen.
Was mache ich falsch?

04.01.2009, 14:19

Arianne20

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RE: Differenzierbar
@Tigerbine und eierkopf

Wisst ihr evtl. auch nicht mehr weiter? Habe gesehen dass ihr gerade auf diesem Thread gewesen seit.

Ihr seit ja auch noch fleißig im Board unterwegs, trotzdem wäre es schön wenn ich eine Rückmeldung bekäme, da ich wie ihr sicherlich beobachtet habt nicht so sehr mit der Aufgabe klarkomme unglücklich

unglücklich

Danke und sorry für die Störung.

04.01.2009, 14:22

tigerbine

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RE: Differenzierbar

Zitat:

@Tigerbine und eierkopf

Wisst ihr evtl. auch nicht mehr weiter? Habe gesehen dass ihr gerade auf diesem Thread gewesen seit.

Vielleicht haben wir gerade mal keine Zeit? Idee!

Idee!

04.01.2009, 14:36

Arianne20

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RE: Differenzierbar
Das war überhaupt kein Voruwurf und falls das so rüberkam dann bitte ich um eine Entschuldigung nur ich dachte, da ihr fleißig im Board unterwegs seit und auch schon auf meinem Thread drauf wart, dass ihr mir vielleicht nicht mehr weiterhelfen könnt und ich deswegen nochmals nachgefragt habe.

Dann würde ich mich trotzdem riesig freuen, falls du mir helfen könntest wenn du wieder Zeit hast.

Dankeschön

04.01.2009, 14:38

eierkopf1

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RE: Differenzierbar
Für x² stimmt es.

Für den anderen Teil, weiß ich jetzt nicht weiter. Ich hatte übrigens ein ähnliches Problem, dass ich so nicht lösen konnte.

Ein anderer und einfacherer Weg ist:

Wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} \cosh (x) \end{eqnarray*}$ auf dem Defintionsbereich stetig und differenzierbar ist.

Daher folgt aus dem 1. Mittelwertsatz:
$\begin{eqnarray*} f'(0)=\lim_{x \to 0^-}f'(x) \end{eqnarray*}$

Mit anderen Worten: Du kannst die Ableitungsregeln für den Kosinus Hyperbolicus verwenden und dann in die Ableitung x=0 einsetzen.

mfg

04.01.2009, 14:55

kiste

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Beim ersten ziehst du den Bruch einfach auseinander so dass du auf die Differentialquotienten von 1/2e^x und 1/2e^(-x) an der Stelle 0 kommst.

04.01.2009, 15:18

Arianne20

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Danke eierkopf, aber den Mittelwertsatz hatten wir leider noch nicht.

@Kiste

Wie meinst du das ich ziehe den Bruch auseinander?

Meinst du ich soll den Differentialquotienten von $\begin{eqnarray*} 0.5e^x \end{eqnarray*}$ und von $\begin{eqnarray*} 0,5e^{-x} \end{eqnarray*}$ einzelnd betrachten?

Das sähe dann so aus:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h}-e^x}{2h} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{e^{-x-h}-e^{-x}}{2h} \end{eqnarray*}$

Setze ich $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ein erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{e^{h}-1}{2h} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{e^{-h}-1}{2h} \end{eqnarray*}$

Ich glaube ich habe deine Idee nicht ganz verstanden, könntest du sie ein bisschen näher erläutern?

Danke

04.01.2009, 15:34

kiste

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Wenn du die beiden Grenzwerte die du gerade betrachtest addierst kommst du gerade auf den den du ausrechnen willst. Ist natürlich auch nichts anderes als die Ableitung sonst betrachten Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.01.2009, 15:38

Arianne20

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Ja eben... das habe ich mir auch schon gedacht verwirrt

verwirrt

Aber damit dieser Differentialquotient existiert muss ich doch h gegen 0 laufen lassen können oder nicht?
Solange das h im Nenner steht und nicht verschwindet ist das nicht möglich, was muss ich denn tun?

14.01.2009, 18:43

Arianne20

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Weiß vielleicht noch jemand etwas hier zu?

14.01.2009, 18:50

Musti

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Du willst den Differentialquotienten an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ berechnen.

Den Differentialquotienten hast du schon richtig aufgestellt.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}= \lim_{x \to 0^-}\frac{\cosh(x)-1}{x} \end{eqnarray*}$

Nun gilt, wegen $\begin{eqnarray*} \cosh(0)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^-}\frac{\cosh(x)-1}{x}=\lim_{x \to 0^-}\frac{\cosh(x)-\cosh(0)}{x-0} \end{eqnarray*}$

Von dem wissen wir, dass der Grenzwert existiert und die Funktion differenzierbar ist, denn es gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^-}\frac{\cosh(x)-\cosh(0)}{x-0}=\lim_{x \to 0}\frac{\cosh(x)-\cosh(0)}{x-0}=\cosh'(0)=\sinh(0)=0 \end{eqnarray*}$

14.01.2009, 19:26

Arianne20

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Hey, das ist geschickt smile

smile

Das könnte ich doch auch bei der Ableitung jetzt machen um zu zeigen ob sie in x=0 differenzierbar ist.

14.01.2009, 19:28

Musti

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Genaus, denn es gilt: $\begin{eqnarray*} 0=\sinh(0) \end{eqnarray*}$

14.01.2009, 19:29

Arianne20

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Könnte es sein, dass die Ableitung nicht mehr differenzierbar in $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ist?

14.01.2009, 19:31

Musti

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Es könnte nicht nur sein, es ist sogar so.
Weißt du denn auch warum?

14.01.2009, 19:31

Arianne20

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Weil der rechtsseitige und linksseitige Grenzwert nicht übereinstimmt würde ich sagen.

14.01.2009, 19:32

Musti

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Genau so ist es! Freude

Freude

14.01.2009, 20:17

eierkopf1

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Nur der Vollständigkeit:

Das gilt (falls der Grenzwert existiert): $\begin{eqnarray*} f'(b) = \lim_{x \to b^-} f'(x) \end{eqnarray*}$ folgt aus dem 1. Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

(Diesen Tipp hatte ich oben schon gegeben Wink

Wink

)

Also ist dieser Differentialquotient nicht (ohne Ableitungsregeln) zu berechnen? Oder weiß jemand etwas dazu?

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