treue und transitive Gruppenwirkung

03.01.2009, 23:37	toasten	Auf diesen Beitrag antworten »
treue und transitive Gruppenwirkung Hallo, könnte mir netterweise jemand ein Beispiel für eine Gruppenwirkung nennen, die sowohl treu als auch transitiv ist. Danke Grüße Toasten
03.01.2009, 23:42	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, das Paradebeispiel, wie auch schon im anderen Thread erwähnt, ist die Operation der $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \{1,\ldots,n\} \end{eqnarray}$ edit: Vielleicht ein wenig mehr Theorie dazu. Ich werde ab sofort Linksoperationen betrachen und diese als Linksmultiplikationen darstellen. Sei also $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ eine Gruppe die auf $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ operiert. Dann wird durch $\begin{eqnarray} \pi : G \to S_\Omega\\g\mapsto g_\pi \end{eqnarray}$ ein Homomorphismus defniert, wobei $\begin{eqnarray} g_\pi \end{eqnarray}$ die Abbildung ist mit $\begin{eqnarray} g_\pi(x) = gx \end{eqnarray}$ also gerade der Operation. $\begin{eqnarray} g_\pi \end{eqnarray}$ ist offensichtlich eine Bijektion da $\begin{eqnarray} (g^{-1})_\pi \end{eqnarray}$ dazu invers ist. Damit ist die Abbildung wohldefiniert. Damit ist $\begin{eqnarray} G/\mathrm{Ker}\pi \end{eqnarray}$ isomorph zu einer Untergruppe von $\begin{eqnarray} S_\Omega \end{eqnarray}$ . Insbesondere sind also die treuen Operatorgruppen alle isomorph zu Untergruppen von $\begin{eqnarray} S_\Omega \end{eqnarray}$ da dort $\begin{eqnarray} \mathrm{Ker}\pi = 1 \end{eqnarray}$ gilt. Deshalb ist die S_n auch so ein tolles Beispiel edit2: Das obere ist übrigens ein toller Beweis des Satzes von Cayley. G operiert treu auf sich selbst, liefert also eine Einbettung in S_G
04.01.2009, 00:04	toasten	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm... aber ist diese Gruppenwirkung auch transitiv?
04.01.2009, 00:16	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
transitiver geht es nicht mehr. Es ist die einzige Operation die n-fach transitiv ist
04.01.2009, 15:01	toasten	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du auch ein Beispiel für eine endliche abelsche Gruppe? Ich habe nämlich schon bewiesen, dass wenn diese treu und transitiv auf eine nichtleere Menge M wirkt, dass dann G und M dieselbe Kardinalität haben ... mir fällt nur kein schönes Beispiel dafür ein :-( Danke Toasten
04.01.2009, 15:05	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Die zyklische Gruppe der Ordnung 3 $\begin{eqnarray} C_3 = \langle t\rangle \end{eqnarray}$ operiert auf $\begin{eqnarray} \{1,2,3\} \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} t1 = 2 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} t2 = 3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t3 = 1 \end{eqnarray}$ . Also durch Verschiebung. Diese Operation ist treu und transitiv. Man sieht direkt dass $\begin{eqnarray} C_3 \cong \langle (123)\rangle \leq S_3 \end{eqnarray}$
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04.01.2009, 15:41	toasten	Auf diesen Beitrag antworten »
Von der Bezeichnung $\begin{eqnarray} C_3 \end{eqnarray}$ habe ich bisher noch nichts gehört. Ist aber wahrscheinlich einfach nur eine andere Bezeichung für $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_3=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ , oder?
04.01.2009, 15:50	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja die beiden sind isomorph Ich benutze die C_n meist wenn ich nicht konkret Z/nZ benutzen will. In dem Fall wäre es verwirrend gewesen mit den Repräsentanten 0,1,2 auf 1,2,3 zu operieren. Deswegen allgemein die Gruppe als 1,t,t^2

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